Successioni, trovare legge principale
Buonasera a tutti!
volevo sapere come trovo $a_n$ se ho a disposizione $a_0$ e $a_(n+1)$ ?
esempio
se ho $a_0$ = 1
ed $a_(n+1)$ = 1/3 $a_n$ + 2 cosa devo fare?
Ringrazio tutti anticipatamente.
volevo sapere come trovo $a_n$ se ho a disposizione $a_0$ e $a_(n+1)$ ?
esempio
se ho $a_0$ = 1
ed $a_(n+1)$ = 1/3 $a_n$ + 2 cosa devo fare?
Ringrazio tutti anticipatamente.
Risposte
Queste si chiamano successioni definite per ricorrenza; in generale non è possibile ricavare l'espressione in forma chiusa di [tex]$a_n$[/tex] con metodi elementari.
Tuttavia un paio di metodi elementari sono accessibili.
Il primo procede con la determinazione dei primi elementi della successione.
Infatti conoscendo [tex]$a_0$[/tex] ed usando [tex]$a_{n+1}=\tfrac{1}{3}\ a_n +2$[/tex] con [tex]$n=0$[/tex] puoi ricavare [tex]$a_1$[/tex]; conoscendo [tex]$a_1$[/tex] ed usando [tex]$a_{n+1}=\tfrac{1}{3}\ a_n +2$[/tex] con [tex]$n=1$[/tex] puoi ricavare [tex]$a_2$[/tex]; conoscendo [tex]$a_2$[/tex] ed usando [tex]$a_{n+1}=\tfrac{1}{3}\ a_n +2$[/tex] con [tex]$n=3$[/tex] puoi ricavare [tex]$a_3$[/tex]; conoscendo [tex]$a_3$[/tex] ed usando [tex]$a_{n+1}=\tfrac{1}{3}\ a_n +2$[/tex] con [tex]$n=3$[/tex] puoi ricavare [tex]$a_4$[/tex]... Trovati i primi valori di [tex]$a_n$[/tex] puoi "tirare ad indovinare" una formula generale e poi provare a dimostrarla per induzione (usando la relazione di ricorrenza).
Il secondo consiste nel seguire il sentiero "a ritroso", ossia usando la relazione ricorrente facendo diminuire l'indice.
Parti supponendo che $n$ sia abbastanza grande, cosicché puoi usare la relazione ricorrente per scrivere:
[tex]$a_{n+1}=\tfrac{1}{3}\ a_n +2$[/tex] e [tex]$a_n=\tfrac{1}{3}\ a_{n-1} +2$[/tex]
quindi sostituendo:
[tex]$a_{n+1}=\tfrac{1}{3}\ (\tfrac{1}{3}\ a_{n-1} +2) +2 =\tfrac{1}{9}\ a_{n-1} +2 (1+\tfrac{1}{3})$[/tex];
ma usando la relazione trovi anche:
[tex]$a_{n-1}=\tfrac{1}{3}\ a_{n-2} +2$[/tex]
quindi sostituendo nella precedente:
[tex]$a_{n+1}=\tfrac{1}{9}\ (\tfrac{1}{3}\ a_{n-2} +2) +2 (1+\tfrac{1}{3}) = \tfrac{1}{27}\ a_{n-2} +2(1+\tfrac{1}{3} +\tfrac{1}{9})$[/tex]
e già comincia ad intravedersi uno schema; la cosa importante è che, man mano che vai indietro, l'indice dell'unico elemento della successione che compare nell'ultimo membro diminuisce sempre più... Tutto sta a trovare un'espressione per [tex]$a_{n+1}$[/tex] in cui compaia solo [tex]$a_0$[/tex] ed a provarla valida per induzione.
Per farci un po' la mano, prova a cominciare da queste:
[tex]$\begin{cases} a_{n+1} =2\ a_n \\ a_0=3 \end{cases}$[/tex],
[tex]$\begin{cases} a_{n+1} =(n+1)\ a_n \\ a_0=1 \end{cases}$[/tex].
Tuttavia un paio di metodi elementari sono accessibili.
Il primo procede con la determinazione dei primi elementi della successione.
Infatti conoscendo [tex]$a_0$[/tex] ed usando [tex]$a_{n+1}=\tfrac{1}{3}\ a_n +2$[/tex] con [tex]$n=0$[/tex] puoi ricavare [tex]$a_1$[/tex]; conoscendo [tex]$a_1$[/tex] ed usando [tex]$a_{n+1}=\tfrac{1}{3}\ a_n +2$[/tex] con [tex]$n=1$[/tex] puoi ricavare [tex]$a_2$[/tex]; conoscendo [tex]$a_2$[/tex] ed usando [tex]$a_{n+1}=\tfrac{1}{3}\ a_n +2$[/tex] con [tex]$n=3$[/tex] puoi ricavare [tex]$a_3$[/tex]; conoscendo [tex]$a_3$[/tex] ed usando [tex]$a_{n+1}=\tfrac{1}{3}\ a_n +2$[/tex] con [tex]$n=3$[/tex] puoi ricavare [tex]$a_4$[/tex]... Trovati i primi valori di [tex]$a_n$[/tex] puoi "tirare ad indovinare" una formula generale e poi provare a dimostrarla per induzione (usando la relazione di ricorrenza).
Il secondo consiste nel seguire il sentiero "a ritroso", ossia usando la relazione ricorrente facendo diminuire l'indice.
Parti supponendo che $n$ sia abbastanza grande, cosicché puoi usare la relazione ricorrente per scrivere:
[tex]$a_{n+1}=\tfrac{1}{3}\ a_n +2$[/tex] e [tex]$a_n=\tfrac{1}{3}\ a_{n-1} +2$[/tex]
quindi sostituendo:
[tex]$a_{n+1}=\tfrac{1}{3}\ (\tfrac{1}{3}\ a_{n-1} +2) +2 =\tfrac{1}{9}\ a_{n-1} +2 (1+\tfrac{1}{3})$[/tex];
ma usando la relazione trovi anche:
[tex]$a_{n-1}=\tfrac{1}{3}\ a_{n-2} +2$[/tex]
quindi sostituendo nella precedente:
[tex]$a_{n+1}=\tfrac{1}{9}\ (\tfrac{1}{3}\ a_{n-2} +2) +2 (1+\tfrac{1}{3}) = \tfrac{1}{27}\ a_{n-2} +2(1+\tfrac{1}{3} +\tfrac{1}{9})$[/tex]
e già comincia ad intravedersi uno schema; la cosa importante è che, man mano che vai indietro, l'indice dell'unico elemento della successione che compare nell'ultimo membro diminuisce sempre più... Tutto sta a trovare un'espressione per [tex]$a_{n+1}$[/tex] in cui compaia solo [tex]$a_0$[/tex] ed a provarla valida per induzione.
Per farci un po' la mano, prova a cominciare da queste:
[tex]$\begin{cases} a_{n+1} =2\ a_n \\ a_0=3 \end{cases}$[/tex],
[tex]$\begin{cases} a_{n+1} =(n+1)\ a_n \\ a_0=1 \end{cases}$[/tex].
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