Successioni Reali......Chiarimenti.
Ciao a tutti. Ho finito di ripassare le successioni e adesso mi sto leggendo gli esercizi svolti del mio libro ma ci sono delle cose che mi lasciano perplesso ( mooolto), per esempio questo esercizio:
Sia $a_n$ una successione di numeri positivi. Supponiamo che esista $n_o in NN $ tale che $(a_(n+1)/a_n) \le rho <1 $ $ AAn\ge n_o $. Dimostriamo che $ lim_(n -> +oo )a_n=0 $.
Ora procedono così: la condizione $(a_(n+1))/a_n \le rho $ implica che $ 0< a_n \le rho^(n-n_o)a_(n_o) $ ma da dove prendono il secondo membro di questa relazione?
Sia $a_n$ una successione di numeri positivi. Supponiamo che esista $n_o in NN $ tale che $(a_(n+1)/a_n) \le rho <1 $ $ AAn\ge n_o $. Dimostriamo che $ lim_(n -> +oo )a_n=0 $.
Ora procedono così: la condizione $(a_(n+1))/a_n \le rho $ implica che $ 0< a_n \le rho^(n-n_o)a_(n_o) $ ma da dove prendono il secondo membro di questa relazione?
Risposte
Se quella condizione vale da [tex]$n_0$[/tex] in poi, abbiamo
[tex]$\frac{a_{n_0+1}}{a_{n_0}}<\rho$[/tex] cioè [tex]$a_{n_0+1}<\rho\cdot a_{n_0}$[/tex]
Analogamente vale
[tex]$\frac{a_{n_0+2}}{a_{n_0+1}}<\rho$[/tex] cioè [tex]$a_{n_0+2}<\rho\cdot a_{n_0+1}$[/tex] ovvero
[tex]$a_{n_0+2}<\rho\cdot(\rho\cdot a_{n_0})=\rho^2\cdot a_{n_0}$[/tex]
Andando avanti con questo passo, oltre [tex]$a_{n_0+2}[/tex], arrivi a [tex]$a_{n}[/tex] e la potenza di [tex]\rho[/tex] arriva a esponente [tex]$n-n_0$[/tex], il numero di volte che hai iterato questo metodo.
Spero sia chiaro.
Ciao.
[tex]$\frac{a_{n_0+1}}{a_{n_0}}<\rho$[/tex] cioè [tex]$a_{n_0+1}<\rho\cdot a_{n_0}$[/tex]
Analogamente vale
[tex]$\frac{a_{n_0+2}}{a_{n_0+1}}<\rho$[/tex] cioè [tex]$a_{n_0+2}<\rho\cdot a_{n_0+1}$[/tex] ovvero
[tex]$a_{n_0+2}<\rho\cdot(\rho\cdot a_{n_0})=\rho^2\cdot a_{n_0}$[/tex]
Andando avanti con questo passo, oltre [tex]$a_{n_0+2}[/tex], arrivi a [tex]$a_{n}[/tex] e la potenza di [tex]\rho[/tex] arriva a esponente [tex]$n-n_0$[/tex], il numero di volte che hai iterato questo metodo.
Spero sia chiaro.
Ciao.
Sisi chiarissimo. Grazie per la risposta. Primo dubbio chiarito, adesso nel secondo esercizio :
Calcolare, al variare di $ x in RR$, il $lim_(n -> + oo) x^n/(n!) $.
Quì facendo ricorso al caso precedente, per x>0, trovano che $a_(n+1)/a_n=x/(n+1) $ ( dopo avere fatto i relativi calcoli).
Questa quantità per $ n -> oo $ tende a 0 quindi dicono a questo punto che $ x^n/(n!) $ tende a 0 per $ n -> + oo $, ma non capisco come sono arrivati a dire questo? Cioè se $a_(n+1)/a_n$ tende a 0 allora non dovrebbe essere $a_n$ tendente a $+oo$?
Calcolare, al variare di $ x in RR$, il $lim_(n -> + oo) x^n/(n!) $.
Quì facendo ricorso al caso precedente, per x>0, trovano che $a_(n+1)/a_n=x/(n+1) $ ( dopo avere fatto i relativi calcoli).
Questa quantità per $ n -> oo $ tende a 0 quindi dicono a questo punto che $ x^n/(n!) $ tende a 0 per $ n -> + oo $, ma non capisco come sono arrivati a dire questo? Cioè se $a_(n+1)/a_n$ tende a 0 allora non dovrebbe essere $a_n$ tendente a $+oo$?
"AlexlovesUSA":
Sisi chiarissimo. Grazie per la risposta. Primo dubbio chiarito, adesso nel secondo esercizio :
Calcolare, al variare di $ x in RR$, il $lim_(n -> + oo) x^n/(n!) $.
Quì facendo ricorso al caso precedente, per x>0, trovano che $a_(n+1)/a_n=x/(n+1) $ ( dopo avere fatto i relativi calcoli).
Questa quantità per $ n -> oo $ tende a 0 quindi dicono a questo punto che $ x^n/(n!) $ tende a 0 per $ n -> + oo $, ma non capisco come sono arrivati a dire questo? Cioè se $a_(n+1)/a_n$ tende a 0 allora non dovrebbe essere $a_n$ tendente a $+oo$?
Nel primo post stavi cercando di dimostrare, come tu stesso hai riportato, che se $a_n$ è una successione di numeri positivi e se esiste $n_ o in NN$ tale che $(a_(n+1)/a_n)<1 AA n>n_o$, allora $lim_(n->+oo)(a_n)=0. $.
Bene, ora detta $a_n(x):=x^n/(n!)$ hai detto che se $x>0,$ con un pò di passaggi verifichi che $a_(n+1)/a_n = x/(n+1)$.
Tale successione tende a zero ( <1 !!) quindi per quanto dimostrato sopra concludi che la tua successione di partenza converge a zero.
Questo è detto " criterio del rapporto ". Più precisamente:
Sia $a_n$ una successione a termini positivi. Se la successione $a_(n+1)/a_n$ converge ad un limite $l<1$, allora $a_n$ è strettamente decrescente e converge a zero. Se $l>1$, al contrario, la successione diverge a $+oo$. Nulla si può dire infine nel caso in cui si abbia $l=1$.
Ah grazie per la risposta.
A proposito potresti dare un'occhiata a Esercizi Numeri Complessi? perfavore?
A proposito potresti dare un'occhiata a Esercizi Numeri Complessi? perfavore?
"AlexlovesUSA":
Ah grazie per la risposta.
A proposito potresti dare un'occhiata a Esercizi Numeri Complessi? perfavore?
Figurati.
Fatto !
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