Successioni monotone crescenti

[jrq]

ciao a tutti non so se il post è corretto metterlo in questa sezione del forum...spero sia giusto..ho riscontrato problemi nel seguente quesito:
"Fissiamo x appartenente (0,1) per ogni n appartente ad N:
\(\displaystyle an=1+x+...+x^n=x^0 +x^1 +...+x^n \)
1)Dimostrare che la successione an è monotona crescente
2)dimostrare che:
\(\displaystyle (1-x)an=1- \) $ x^(n+1) $
3)utilizzare l'osservazione del punto b per dedurre che:
$ lim_(n -> +oo ) an=1/(1-x) $

Ora
1)una successione è monotona crescente se:anan+1>an
quindi se pongo:
\(\displaystyle ak+1=ak+x^n per ogni k \)
---->la successione è crescente
2)ho pensato di moltiplicare la successione an per (1-x).Quibdi il tutto mi risulta:
\(\displaystyle an=1-x+x^n - x((n-1) \)
Solo che la successione non risulta: 1-x(n+1)
Come posso fare x risolvere il punto 2?

[Lo_zio_Tom]

parti dalla successione della traccia


1) $a_n=1+x+x^2+...+x^n$

moltiplichiamo ambo i membri per $x$ ottenendo

2) $x*a_n=x+x^2+...+x^n+x^(n+1)$

sottraiamo membro a membro 1)-2) ottenendo appunto

$(1-x)a_n=1-x+x-.....-x^(n+1)=1-x^(n+1)$

che dimostra quanto richiesto.

ora dividi per $(1-x)$ e, considerando che $x in (0;1)$ ottieni quanto richiesto al punto 3) dato che $x^(n+1) rarr 0$ per $n$ grande

magari per la prossima volta prova a migliorare la notazione in modo da renderla più leggibile...

[anto_zoolander]

per la crescenza basta notare che $sum_(k=0)^(n)x^kleqsum_(k=0)^(n+1)x^k$ per $x>0$

per l'uguaglianza mostralo per induzione, per esempio considera il il passo induttivo in questo modo:

- per $n=0$ è banalmente vera.

- per $n=1$ si ha $1+x=[(1+x)(1-x)]/(1-x)=(1-x^2)/(1-x)$ quindi è vera

- supponi sia vera per $n$ e mostra che è vera per $n+1$

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