Successioni in spazi metrici arbitrari
Salve!
Mi chiedevo se, dato uno spazio metrico arbitrario $(X,d_x)$ ed un suo punto $x_0$ fosse possibile costruire una successione in $X$ che tenda ad $x_0$. Ci ho pensato un po' su, e la cosa mi tornerebbe utile in vari esercizi... ma se in $RR$ la questione è risolvibile con la successione $x_0 + 1/n$, in uno spazio metrico qualsiasi, e nemmeno per forza completo, non vedo quale possa essere l'analogo..
Ciao e grazie!
Mi chiedevo se, dato uno spazio metrico arbitrario $(X,d_x)$ ed un suo punto $x_0$ fosse possibile costruire una successione in $X$ che tenda ad $x_0$. Ci ho pensato un po' su, e la cosa mi tornerebbe utile in vari esercizi... ma se in $RR$ la questione è risolvibile con la successione $x_0 + 1/n$, in uno spazio metrico qualsiasi, e nemmeno per forza completo, non vedo quale possa essere l'analogo..
Ciao e grazie!
Risposte
La successione costante:
$x_n=x_0$
è un esempio di successione convergente.
$x_n=x_0$
è un esempio di successione convergente.
Grazie... Ma qualcosa di un po' più simile a $x_0 + 1/n$?
Il problema è dare senso a $x_0+1/n$ in generale.
Invero un sottoinsieme discreto di uno spazio metrico è esso stesso uno spazio metrico (con metrica indotta dallo spazio ambiente).
Per esempio la coppia $(R,d)$ dove $d$ è la distanza euclidea ed $R$ sono i numeri reali è uno spazio metrico.
Uno spazio metrico è anche l' insieme $NsubR$ dei numeri naturali con la metrica euclidea ma non contiene elementi del tipo $x_0+1/n$ con $n>1$ e $x_0inN$.
Cioè in $(N,d)$ le successioni che convergono sono tutte e sole quelle definitivamente costanti.
Buona serata
Mino
Invero un sottoinsieme discreto di uno spazio metrico è esso stesso uno spazio metrico (con metrica indotta dallo spazio ambiente).
Per esempio la coppia $(R,d)$ dove $d$ è la distanza euclidea ed $R$ sono i numeri reali è uno spazio metrico.
Uno spazio metrico è anche l' insieme $NsubR$ dei numeri naturali con la metrica euclidea ma non contiene elementi del tipo $x_0+1/n$ con $n>1$ e $x_0inN$.
Cioè in $(N,d)$ le successioni che convergono sono tutte e sole quelle definitivamente costanti.
Buona serata
Mino
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