Successioni in spazi metrici.

[Lèo114]

Ciao, cosa ne pensate dei seguenti esercizi:

(i) Mostrare che se \(\displaystyle \{x_n\} \) è una successione convergente a \(\displaystyle x\in X \), allora ogni sua sottosuccessione converge allo stesso limite.

Dal fatto che \(\displaystyle \exists N \) tale che \(\displaystyle \forall n>N, \mathrm{d}(x,x_n)<\epsilon \) \(\displaystyle \forall\epsilon \), segue che \(\displaystyle \forall n_k>N \) (condizione eventualmente rispettata nel limite \(\displaystyle n_k\to\infty \)) si ha ancora \(\displaystyle \mathrm{d}(x_{n_k},x)<\epsilon \). \(\displaystyle \blacksquare\)

(ii) Mostrare che se \(\displaystyle \{x_n\} \) è di Cauchy e ha una sottosuccessione convergente, allora essa converge allo stesso limite.

Supponendo \(\displaystyle x_{n_k}\to x\in X \), si ha in particolare \(\displaystyle \forall n,m_k>N(\epsilon) \) con \(\displaystyle N(\epsilon)=\max\{N_{\text{def. di Cauchy}}, N_{\text{def. di convergenza}}\} \), \(\displaystyle \mathrm{d}(x_{m_k},x)<\epsilon \). Dalla disuguaglianza triangolare dunque si ha \(\displaystyle \mathrm{d}(x_n,x)\le \mathrm{d}(x_n,x_{m_k})+\mathrm{d}(x_{m_k},x)\le 2\epsilon\to 0 \). \(\displaystyle \blacksquare \)

(iii) Mostrare che ogni successione di Cauchy è limitata.

Data la successione \(\displaystyle x_n \) tale che \(\displaystyle \mathrm{d}(x_n,x_m)<\epsilon \) \(\displaystyle \forall m,n>N(\epsilon) \), l'obiettivo è mostrare che esiste \(\displaystyle x\in X \) e una certa costante \(\displaystyle M\in\mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle \forall n \), \(\displaystyle \mathrm{d}(x_n, x)\le M \). Fissato \(\displaystyle m_0\ge N \) nella definizione di successione di Cauchy, pongo \(\displaystyle \forall n

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Risposte

killing_buddha

13 ago 2018, 15:16

Per il terzo, il punto è proprio che per ogni $\epsilon > 0$ un numero finito di elementi della successione stanno fuori da una palla di raggio $\epsilon$, e tutti gli altri stanno dentro. Allora la successione è tutta dentro l'unione di un numero finito di palle, e puoi prendere $M =$ il diametro di questa unione di palle.

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Lèo114

13 ago 2018, 16:10

Mi hai dato un'immagine molto chiara

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[killing_buddha]

Per il terzo, il punto è proprio che per ogni $\epsilon > 0$ un numero finito di elementi della successione stanno fuori da una palla di raggio $\epsilon$, e tutti gli altri stanno dentro. Allora la successione è tutta dentro l'unione di un numero finito di palle, e puoi prendere $M =$ il diametro di questa unione di palle.

[Lèo114]

Mi hai dato un'immagine molto chiara