Successioni in C
Sto cercando di risolvere questo esercizio:
Sia [tex]\alpha \in \mathbb{C} \setminus \left \{ 0 \right\}[/tex] . Dimostrare che esiste una successione [tex]\left( z_n \right)[/tex] in [tex]\mathbb{C}[/tex] tale che:
[tex]\left( z_n \right)^n= \alpha\ \ \forall n \in \mathbb{N} ,\ z_n \rightarrow -1\[/tex] per [tex]\ n \rightarrow +\infty[/tex]
Non riesco a sgrovigliarla... come si può dimostrare?...
Sia [tex]\alpha \in \mathbb{C} \setminus \left \{ 0 \right\}[/tex] . Dimostrare che esiste una successione [tex]\left( z_n \right)[/tex] in [tex]\mathbb{C}[/tex] tale che:
[tex]\left( z_n \right)^n= \alpha\ \ \forall n \in \mathbb{N} ,\ z_n \rightarrow -1\[/tex] per [tex]\ n \rightarrow +\infty[/tex]
Non riesco a sgrovigliarla... come si può dimostrare?...
Risposte
Vale la seguente proposizione:
data $(a_n)_(n in NN)$ successione di elementi di $RR^n$, si ha $a_n to alpha$ $<=>$ ogni componente tende ad ogni componente, i.e. $"pr"_i(a_n) -> "pr"_i (alpha)$.
Prova a dimostrarla. Se vuoi ti do qualche hint.
Puoi sfruttarla per ottenere quanto vuoi..
Ad esempio. Oppure ci sono mille altri modi!
Edit: mmm, no. Ferma restando la validità di quel che ho scritto.. forse puoi usare qualche idea migliore, ad esempio sfruttando la definizione di elevamento a potenza per un numero complesso.
data $(a_n)_(n in NN)$ successione di elementi di $RR^n$, si ha $a_n to alpha$ $<=>$ ogni componente tende ad ogni componente, i.e. $"pr"_i(a_n) -> "pr"_i (alpha)$.
Prova a dimostrarla. Se vuoi ti do qualche hint.
Puoi sfruttarla per ottenere quanto vuoi..
Ad esempio. Oppure ci sono mille altri modi!
Edit: mmm, no. Ferma restando la validità di quel che ho scritto.. forse puoi usare qualche idea migliore, ad esempio sfruttando la definizione di elevamento a potenza per un numero complesso.
Si, stavo usando quel teorema, anche se non l'avevo visto in n dimensioni, ma solo per $CC$.
Ero partito dal fatto che $z_n = a_n + ib_n$, e che dovendo tendere a -1, è necessario che $a_n \rightarrow -1$ e $b_n \rightarrow 0$
Solo che scrivendo così, ho $(a_n + ib_n)^n$ che non so come smuovere... devo riuscire a mostrare che è uguale ad un numero $\alpha$, non che tende, perciò è una successione costante...
Altra cosa a cui ho pensato è lo scopo di questo eserzio: visto che in $RR$ la successione $(-1)^n$ non ha limite, qui si vuole mostrare che in $CC$ può esserci una cosa simile, dove addirittura una s. che tende a -1 da vita a una roba del tipo $(-1)^n$ costante... Si potrebbe usare qualche particolarità di $i$? Dopotutto è lui che fa la diffrenza tra i reali e i complessi...
Ero partito dal fatto che $z_n = a_n + ib_n$, e che dovendo tendere a -1, è necessario che $a_n \rightarrow -1$ e $b_n \rightarrow 0$
Solo che scrivendo così, ho $(a_n + ib_n)^n$ che non so come smuovere... devo riuscire a mostrare che è uguale ad un numero $\alpha$, non che tende, perciò è una successione costante...
Altra cosa a cui ho pensato è lo scopo di questo eserzio: visto che in $RR$ la successione $(-1)^n$ non ha limite, qui si vuole mostrare che in $CC$ può esserci una cosa simile, dove addirittura una s. che tende a -1 da vita a una roba del tipo $(-1)^n$ costante... Si potrebbe usare qualche particolarità di $i$? Dopotutto è lui che fa la diffrenza tra i reali e i complessi...
Intanto puoi prendere [tex]\alpha=1[/tex] senza perdere generalità. Così facendo la condizione che [tex]z_n[/tex] deve verificare è [tex](z_n)^n=1[/tex], ovvero la successione [tex]z_n[/tex] deve constare di radici n-esime dell'unità. Queste conviene scriverle in questa forma:
[tex]\{1, e^{\imath \frac{2\pi}{n}}, e^{\imath \frac{2\pi}{n}\cdot 2}, \ldots, e^{\imath \frac{2\pi}{n}\cdot (n-1)}\}[/tex].
La successione che cerchi deve avere termini scelti qua in mezzo, quindi deve avere la forma
[tex]e^{\imath \frac{2\pi}{n}k_n}[/tex] per una successione [tex]k_n[/tex] di numeri interi. Dovendo essere
[tex]e^{\imath \frac{2\pi}{n}k_n}\to -1=e^{\imath \pi}[/tex]
puoi prendere una [tex]k_n[/tex] tale che [tex]\frac{k_n}{n}\to\frac{1}{2}[/tex]. Una successione di numeri interi con questa proprietà dovrebbe esistere, vedi se riesci a costruirla.
[tex]\{1, e^{\imath \frac{2\pi}{n}}, e^{\imath \frac{2\pi}{n}\cdot 2}, \ldots, e^{\imath \frac{2\pi}{n}\cdot (n-1)}\}[/tex].
La successione che cerchi deve avere termini scelti qua in mezzo, quindi deve avere la forma
[tex]e^{\imath \frac{2\pi}{n}k_n}[/tex] per una successione [tex]k_n[/tex] di numeri interi. Dovendo essere
[tex]e^{\imath \frac{2\pi}{n}k_n}\to -1=e^{\imath \pi}[/tex]
puoi prendere una [tex]k_n[/tex] tale che [tex]\frac{k_n}{n}\to\frac{1}{2}[/tex]. Una successione di numeri interi con questa proprietà dovrebbe esistere, vedi se riesci a costruirla.
Certo!... Potevo pensarci effettivamente... soprattutto perchè l'esercizio subito sopra era proprio sulle radici dell'unità...eheh
Beh, grazie mille, adesso una successione del genere la rimedio, dovrebbe essere semplice...
Beh, grazie mille, adesso una successione del genere la rimedio, dovrebbe essere semplice...
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