Successioni: funzioni continue?
Ciao ragazzi 
Mi è venuto una specie di dubbio: per quanto poco senso abbia la nozione di continuità riferita alle successioni, si può dire che ogni successione è una funzione continua nel suo dominio?
Con la definizione ci siamo: Sia $f: X\subseteq RR \to RR$. Si dice che $f$ è continua in $x_0\in X$ se $\forall V$ intorno di $f(x_0)$ $\exists U$ intorno di $x_0$ tale che $f(U\cap X)\subseteq V$.
Segue che se $x_0$ è un punto isolato $X$ allora $f$ è continua in $x_0$, no? Bene, chi ci vieta ora di prendere $X\subseteq NN$ ($\subseteq RR$), e quindi di considerare una di quelle che chiamiamo successioni, e non una $f$ qualunque?
Io penso nessuno (correggetemi se dico eresie). Possiamo formulare, dunque, il seguente "teorema"?
TEOREMA (scoperta dell'acqua calda). Ogni successione di numeri reali, definita in certo insieme $N\subseteq NN$, è una funzione continua*.
Il punto è: io questo teorema non l'ho mai visto da nessuna parte, e penso che i motivi possano essere solo due: è falso (e io non ci ho capito 'na beneamata mazza di Analisi e di funzioni continue), oppure non serve a un tubo
A voi i commenti
______________________________________________
*in $N$ ovviamente...
Mi è venuto una specie di dubbio: per quanto poco senso abbia la nozione di continuità riferita alle successioni, si può dire che ogni successione è una funzione continua nel suo dominio?
Con la definizione ci siamo: Sia $f: X\subseteq RR \to RR$. Si dice che $f$ è continua in $x_0\in X$ se $\forall V$ intorno di $f(x_0)$ $\exists U$ intorno di $x_0$ tale che $f(U\cap X)\subseteq V$.
Segue che se $x_0$ è un punto isolato $X$ allora $f$ è continua in $x_0$, no? Bene, chi ci vieta ora di prendere $X\subseteq NN$ ($\subseteq RR$), e quindi di considerare una di quelle che chiamiamo successioni, e non una $f$ qualunque?
Io penso nessuno (correggetemi se dico eresie). Possiamo formulare, dunque, il seguente "teorema"?
TEOREMA (scoperta dell'acqua calda). Ogni successione di numeri reali, definita in certo insieme $N\subseteq NN$, è una funzione continua*.
Il punto è: io questo teorema non l'ho mai visto da nessuna parte, e penso che i motivi possano essere solo due: è falso (e io non ci ho capito 'na beneamata mazza di Analisi e di funzioni continue), oppure non serve a un tubo
A voi i commenti
______________________________________________
*in $N$ ovviamente...
Risposte
Non è falso, ma è un risultato banalissimo.
Infatti la topologia naturale di \(\mathbb{R}\) induce su \(\mathbb{N}\) la topologia discreta, e con tale topologia ogni applicazione di \(\mathbb{N}\) in \(\mathbb{R}\) (o addirittura a valori in un qualsiasi spazio topologico) diviene automaticamente continua.
Infatti la topologia naturale di \(\mathbb{R}\) induce su \(\mathbb{N}\) la topologia discreta, e con tale topologia ogni applicazione di \(\mathbb{N}\) in \(\mathbb{R}\) (o addirittura a valori in un qualsiasi spazio topologico) diviene automaticamente continua.
Come sospettavo ho scelto bene il nome del teorema. Grazie Gugo 
ho scelto bene il nome del teorema. Grazie Gugo
[sono stato preceduto ma ormai posto lo stesso 
]
Si' più che altro spesso è inutile vederla in questo modo. La metrica di $RR$ induce sui naturali la topologia discreta (in cui ogni sottoinsieme è aperto), e ogni funzione definita su uno spazio topologico discreto è continua (la definizione topologica di continuità è: $f$ è continua se la controimmagine di ogni aperto è un aperto).
Comunque penso che ogni tanto ragionare con questa filosofia possa servire per esprire definizioni o risultati con maggiore generalità. Mi sembra ad esempio che in teoria dell'integrazione ci sia una buona dualità tra sommatoria e integrale (nel senso che la sommatoria è l'integrale su uno spazio discreto) e che alcuni risultati discreti possano essere visti come conseguenza della teoria generale. Ad esempio immagino che in qualche modo lo scambio tra due sommatorie o serie possa essere giustificato con il teorema di Fubini. Spero di non aver detto baggianate.
Te prova a ragionare su questo: la definizione di successione convergente è solo un caso particolare di quella di funzione con un limite all'infinito?
]Si' più che altro spesso è inutile vederla in questo modo. La metrica di $RR$ induce sui naturali la topologia discreta (in cui ogni sottoinsieme è aperto), e ogni funzione definita su uno spazio topologico discreto è continua (la definizione topologica di continuità è: $f$ è continua se la controimmagine di ogni aperto è un aperto).
Comunque penso che ogni tanto ragionare con questa filosofia possa servire per esprire definizioni o risultati con maggiore generalità. Mi sembra ad esempio che in teoria dell'integrazione ci sia una buona dualità tra sommatoria e integrale (nel senso che la sommatoria è l'integrale su uno spazio discreto) e che alcuni risultati discreti possano essere visti come conseguenza della teoria generale. Ad esempio immagino che in qualche modo lo scambio tra due sommatorie o serie possa essere giustificato con il teorema di Fubini.
Spero di non aver detto baggianate.Te prova a ragionare su questo: la definizione di successione convergente è solo un caso particolare di quella di funzione con un limite all'infinito?
Ciao yellow, grazie anche a te 
Aspetta, aspetta...probabilmente non posseggo le nozioni necessarie, ma come fa ad essere aperto ogni sottoinsieme di $NN$ (preso $NN$ come "insieme universo", a quanto ho capito)?
La definizione di insieme aperto che ricordo è questa (per sottoinsiemi di $RR$): si dice che $A\subseteq RR$ è aperto se
\[\forall x\in A\, , \exists U\ \text{intorno di}\ x\ :\ U\subseteq A\]
ovvero se tutti i punti di $A$ sono interni ad $A$.
In base a questa definizione, ogni sottoinsieme di $NN$ è chiuso (se $RR$ è l'insieme universo), poichè il suo complementare è un aperto.
Come funziona se si prende $NN$ come insieme universo? Suppongo che la definizione cambi, e di brutto...se si continua ad usare la definizione con gli intorni, sia $N\subseteq NN$ che $N^{\mathcal{C}}=NN\setminus N$ non sono nè chiusi nè aperti
Anzi, pensandoci bene, non avrebbe manco senso usare gli intorni (almeno quelli che conosco io), poichè sono "oggetti" che hanno senso in $RR$, o comunque in un insieme con la stessa cardinalità... Boh Illuminami!
"yellow":
La metrica di $RR$ induce sui naturali la topologia discreta (in cui ogni sottoinsieme è aperto)
Aspetta, aspetta...probabilmente non posseggo le nozioni necessarie, ma come fa ad essere aperto ogni sottoinsieme di $NN$ (preso $NN$ come "insieme universo", a quanto ho capito)?
La definizione di insieme aperto che ricordo è questa (per sottoinsiemi di $RR$): si dice che $A\subseteq RR$ è aperto se
\[\forall x\in A\, , \exists U\ \text{intorno di}\ x\ :\ U\subseteq A\]
ovvero se tutti i punti di $A$ sono interni ad $A$.
In base a questa definizione, ogni sottoinsieme di $NN$ è chiuso (se $RR$ è l'insieme universo), poichè il suo complementare è un aperto.
Come funziona se si prende $NN$ come insieme universo? Suppongo che la definizione cambi, e di brutto...se si continua ad usare la definizione con gli intorni, sia $N\subseteq NN$ che $N^{\mathcal{C}}=NN\setminus N$ non sono nè chiusi nè aperti
Anzi, pensandoci bene, non avrebbe manco senso usare gli intorni (almeno quelli che conosco io), poichè sono "oggetti" che hanno senso in $RR$, o comunque in un insieme con la stessa cardinalità... Boh Illuminami!
No no, un "intorno sferico" in uno spazio metrico $(X,d)$ è definito cosi': $B(a,r)={x in X | d(a,x)
Ecco, ecco... ora quadra Grazie!
Ora sono alle prese con molle, forze elastiche, tensioni e altre diavolerie varie, in vista dell'esame...appena posso mi dedico alla tua domanda:
Cosi, su due piedi, ti direi di sì però, chissà...
Grazie! Ora sono alle prese con molle, forze elastiche, tensioni e altre diavolerie varie, in vista dell'esame...appena posso mi dedico alla tua domanda:
"yellow":
Te prova a ragionare su questo: la definizione di successione convergente è solo un caso particolare di quella di funzione con un limite all'infinito?
Cosi, su due piedi, ti direi di sì
però, chissà...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo