Successioni estratte

[Slashino1]

Salve a tutti. Riguardo le successioni leggo : " Lemma: se una successione $a_n$ ammette limite, allora ogni sua sottosuccessione ammette lo stesso limite ". Poi ricordando che per il teorema di Bolzano-Weierstrass da ogni successione limitata si può estrarre una successione convergente, trovo scritto : "Può accadere che una successione $a_n$ ammetta diverse sottosuccessioni con limiti diversi ". Questa seconda affermazione non va in contrasto con la prima? Mi spiego:
Se una successione $a_n$ ha limite $l$ allora per la prima affermazione, ogni successione estratta deve avere limite $l$. La seconda invece dice che ci possono essere successioni diverse con limiti diversi, quindi ci può essere una successione che ha limite diverso da $l$. Mi chiarite questo punto?

[gugo82]

Se \((a_n)\) non converge, le estratte possono fare quel che più piace loro.

Ad esempio, dalla successione di termine generale \(a_n=(-1)^n\), che non converge, puoi estrarre successioni convergenti a \(1\), convergenti a \(-1\), oppure non regolari.

Un esempio più estremo è il seguente: dalla successione di termine generale \(a_n=\sin n\), che non converge, puoi estrarre successioni convergenti ad un qualsiasi \(l\in [-1,1]\), oppure non regolari.

[Slashino1]

Ora ho capito. Quindi tutte le estratte da una successione di partenza $a_n$ hanno lo stesso limite di $a_n$ soltanto se la successione in questione è convergente, giusto?

[francesco.android6]

Si.

[yellow2]

"Slashino":Ora ho capito. Quindi tutte le estratte da una successione di partenza $a_n$ hanno lo stesso limite di $a_n$ soltanto se la successione in questione è convergente, giusto?

Beh ma sennò non ha senso dire che "hanno lo stesso limite di $a_n$", no?
Essere convergenti in questo caso è usato come sinonimo di ammettere limite, può essere anche infinito.

[Slashino1]

grazie a entrambi..