Successioni e sviluppo di Taylor funzioni trascendentali
Avrei dei dubbi riguardo le funzioni trascendetali per [tex]x[/tex] che tende a [tex]0[/tex] e ad [tex]\infty[/tex], cioè ad esempio ho scritto le seguenti espressioni:
[tex]\lim_{x\to\infty} ln(1+\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}(1+o(1))[/tex]
[tex]\lim_{x\to0}[/tex] [tex]ln(1+\frac{1}{x}) = ln(\frac{1}{x}(1+o(1))[/tex]
[tex]\lim_{x\to\infty} ln(1+x) = lnx(1+o(1))[/tex]
[tex]\lim_{x\to0}[/tex] [tex]ln(1+x) = x(1+o(1))[/tex]
[tex]\lim_{x\to\infty}\sin\frac{1}{x}[/tex] = [tex]\frac{1}{x}(1+o(1))[/tex]
[tex]\lim_{x\to0}[/tex] [tex]sin\frac{1}{x}[/tex] = [tex]-1\leqslant x \leqslant 1[/tex]
Sono corrette??
[tex]\lim_{x\to\infty} ln(1+\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}(1+o(1))[/tex]
[tex]\lim_{x\to0}[/tex] [tex]ln(1+\frac{1}{x}) = ln(\frac{1}{x}(1+o(1))[/tex]
[tex]\lim_{x\to\infty} ln(1+x) = lnx(1+o(1))[/tex]
[tex]\lim_{x\to0}[/tex] [tex]ln(1+x) = x(1+o(1))[/tex]
[tex]\lim_{x\to\infty}\sin\frac{1}{x}[/tex] = [tex]\frac{1}{x}(1+o(1))[/tex]
[tex]\lim_{x\to0}[/tex] [tex]sin\frac{1}{x}[/tex] = [tex]-1\leqslant x \leqslant 1[/tex]
Sono corrette??
Risposte
Hai fatto l'enplein: nessuna è corretta! Dalla prima alla penultima nessuna ha significato, la $x$ passa al limite e non può stare a secondo membro... Per l'ultima è proprio sbagliata.
Nell'ultima espressione avevo sbagliato a scrivere il risultato, ora ho corretto. Sul libro gli esercizi sono risolti utilizzando le espressioni che ho scritto ad esempio per [tex]n->\infty[/tex]:
[tex]cos(n)log(1+\frac{1}{n}) = cos(n)\frac{1}{n}(1+o(1)) = \frac{cos(n)}{n}(1+o(1)) -> 0[/tex]
[tex]\frac{log(1+e^n)}{n}[/tex] = [tex]\frac{nloge(1+o(1))}{n} -> 1[/tex]
Per [tex]x->0[/tex] invece:
[tex]log(x)log(1+\frac{1}{x})[/tex] = [tex]log(x)log(\frac{1}{x}(1+o(1)) = -(logx)^2(1+o(1)) -> -\infty[/tex]
Quindi devo dedurre che le soluzioni del libro sono sbagliate?
[tex]cos(n)log(1+\frac{1}{n}) = cos(n)\frac{1}{n}(1+o(1)) = \frac{cos(n)}{n}(1+o(1)) -> 0[/tex]
[tex]\frac{log(1+e^n)}{n}[/tex] = [tex]\frac{nloge(1+o(1))}{n} -> 1[/tex]
Per [tex]x->0[/tex] invece:
[tex]log(x)log(1+\frac{1}{x})[/tex] = [tex]log(x)log(\frac{1}{x}(1+o(1)) = -(logx)^2(1+o(1)) -> -\infty[/tex]
Quindi devo dedurre che le soluzioni del libro sono sbagliate?
Ciao!
Io la vedrei così:
Le espressioni che hai scritto all'inizio hanno senso se le consideri non come limiti, piuttosto come relazioni fra funzioni.
Mi spiego meglio (prendo ad esempio la prima):
per $x->+infty$ vale la relazione $ln(1+1/x) = 1/x(1+o(1))$ cioè (equivalentemente) $ln(1+1/x)$ è asintotica a $1/x$; insomma, queste due funzioni hanno lo stesso limite per $x->+infty$.
L'errore in quello che hai scritto sta nel fatto che $lim_(x->+infty)f(x)$ se esiste è un numero reale fisso (oppure un infinito), non può essere un'altra funzione di x! Se tu avessi scritto invece $lim_(x->+infty)ln(1+1/x) = lim_(x->+infty)1/x(1+o(1))$ allora avrebbe avuto senso. La x, come ti hanno già detto, non può starci nella soluzione di un limite!
In pratica: o togli il limite all'inizio, o lo metti da entrambe le parti
(tenendo sempre presente che quando si usa l'o piccolo è sempre necessario specificare il valore a cui tende la variabile x, quindi dovrai scrivere solo all'inizio "per $x->+infty$ valgono le seguenti relazioni..." ecc.)
Infatti nelle espressioni che usa il tuo libro, non compare il limite, ma solo la specifica iniziale del termine a cui tende la x.
Se riscrivi le tue espressioni in questo modo, allora sì, nella sostanza sono corrette, eccetto l'ultima!! la funzione $sen1/x$, in un intorno di 0, ha oscillazioni infinite sempre più frequenti, e il limite non esiste.
Spero di esserti stato utile, e soprattutto di non avere commesso errori...
Io la vedrei così:
Le espressioni che hai scritto all'inizio hanno senso se le consideri non come limiti, piuttosto come relazioni fra funzioni.
Mi spiego meglio (prendo ad esempio la prima):
per $x->+infty$ vale la relazione $ln(1+1/x) = 1/x(1+o(1))$ cioè (equivalentemente) $ln(1+1/x)$ è asintotica a $1/x$; insomma, queste due funzioni hanno lo stesso limite per $x->+infty$.
L'errore in quello che hai scritto sta nel fatto che $lim_(x->+infty)f(x)$ se esiste è un numero reale fisso (oppure un infinito), non può essere un'altra funzione di x! Se tu avessi scritto invece $lim_(x->+infty)ln(1+1/x) = lim_(x->+infty)1/x(1+o(1))$ allora avrebbe avuto senso. La x, come ti hanno già detto, non può starci nella soluzione di un limite!
In pratica: o togli il limite all'inizio, o lo metti da entrambe le parti
(tenendo sempre presente che quando si usa l'o piccolo è sempre necessario specificare il valore a cui tende la variabile x, quindi dovrai scrivere solo all'inizio "per $x->+infty$ valgono le seguenti relazioni..." ecc.)Infatti nelle espressioni che usa il tuo libro, non compare il limite, ma solo la specifica iniziale del termine a cui tende la x.
Se riscrivi le tue espressioni in questo modo, allora sì, nella sostanza sono corrette, eccetto l'ultima!! la funzione $sen1/x$, in un intorno di 0, ha oscillazioni infinite sempre più frequenti, e il limite non esiste.
Spero di esserti stato utile, e soprattutto di non avere commesso errori...
Ok tutto chiarissimo grazie
L'ultima comunque resta sbagliata, oltre che priva di senso, $\lim_{x\to 0}\sin (1/x)$ non esiste.
Sinceramente mi sfugge come tu abbia fatto i calcoli.
Per esempio:
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \ln\left(1 + \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\right) = \ln\left(1\right) = 0 \)
Era un limite che si calcolava direttamente, cosa ti ha bloccato dal farlo?
Stessa cosa per il secondo.
I successivi due derivano dai primi due a seguito della trasformazione \(\displaystyle y = \frac{1}{x} \).
Usando questa stessa trasformazione si vede che \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\sin\frac{1}{x} = \lim_{y\to 0^+} \sin y \) e quindi che è risolvibile con un limite notevole.
Per quanto riguarda l'ultimo cosa puoi dire sul limite di \(\displaystyle sen y \) all'infinito?
Per esempio:
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty} \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \ln\left(1 + \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\right) = \ln\left(1\right) = 0 \)
Era un limite che si calcolava direttamente, cosa ti ha bloccato dal farlo?
Stessa cosa per il secondo.
I successivi due derivano dai primi due a seguito della trasformazione \(\displaystyle y = \frac{1}{x} \).
Usando questa stessa trasformazione si vede che \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\sin\frac{1}{x} = \lim_{y\to 0^+} \sin y \) e quindi che è risolvibile con un limite notevole.
Per quanto riguarda l'ultimo cosa puoi dire sul limite di \(\displaystyle sen y \) all'infinito?
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