Successioni e serie, una semplice curiosità

[salvozungri]

Data una successione ${a_n}_{n\in \NN}$ monotona decrescente a zero. E' sempre possibile estrarre una sottosuccessoione ${a_{n_k}}_{k\in NN}$ tale che:
$\sum_{k=0}^{\infty} a_{n_k}< \infty$?

(La domanda è scaturita dalla lettura di un post sulle serie dei reciproci dei numeri primi ) .

Intuitivamente la risposta che mi verrebbe da dare è sì. Purtroppo (o per fortuna) la matematica pretende qualcosina in più dell'intuito

[dissonance]

Beh, si. La successione è infinitesima, quindi certamente esiste $n_0$ tale che $a_{n_0}<1$.
Anche esiste $n_1>n_0$ tale che $a_{n_1}<1/2$.
Anche esiste $n_2>n_1$ tale che $a_{n_2}<1/4$.
$vdots$
Questo definisce una sottosuccessione $(a_{n_k})_{k=1}^infty$ tale che $sum_{k=0}^inftya_{n_k}<2$.

Mi pare che vada bene anche se ho scritto un po' di fretta.

[ViciousGoblin]

"Mathematico":Data una successione ${a_n}_{n\in \NN}$ monotona decrescente a zero. E' sempre possibile estrarre una sottosuccessoione ${a_{n_k}}_{k\in NN}$ tale che:
$\sum_{k=0}^{\infty} a_{n_k}< \infty$?

(La domanda è scaturita dalla lettura di un post sulle serie dei reciproci dei numeri primi ) .

Intuitivamente la risposta che mi verrebbe da dare è sì. Purtroppo (o per fortuna) la matematica pretende qualcosina in più dell'intuito

Direi di si'

Definisci $\sigma_0:="min"{k:a_k<1}$, $\sigma_{n+1}:="min"{k>\sigma_n:a_k<\frac{1}{2^{n+1}}}$. Allora $a_{\sigma_k}<\frac{1}{2^k}$ da cui la serie e' sommabile.
In realta' non serve la monotonia, basta che $a_n\to0$.

EDIT dissonance e' stato piu' veloce ....

[salvozungri]

Grazie per le risposte! Mentre ero occupato a fare tutt'altro m'è venuto in mente lo stesso ragionamento. Perchè non c'ho pensato prima?
Ancora molte grazie