Successioni e serie di funzioni
Ciao!
Sto iniziando ad affrontare lo studio di successioni e serie di funzioni, e mi sto cimentando con qualche esercizio.
Provo a postare un esercizio su una successione e uno su una serie da me svolti (spero perdonerete eventuali e molto probabili castronerie
)
Potreste dirmi come vanno?
ESERCIZIO 1
E' data la successione
$f_n (x) = (logn)/(n^4 + x^2)$.
Studiare convergenza puntuale, totale ed uniforme della serie $\sum f_n$.
Dunque: per la convergenza puntuale basta studiare $x>=0$ perchè la funzione è pari.
$(logn)/(n^4 + x^2) rarr 0$ per $n rarr oo$
Quindi $\sum f_n$ converge puntualmente in $RR$.
Studio poi la convergneza totale ed uniforme.
In particolare inizio a valutare se c'è convergenza totale, dunque studio la serie dei sup:
$\sum$ (sup$ |f_n(x) |$ (fa un po' schifo scritto così, sorry
).
Ora per studiare il sup posso o studiare la derivata, oppure provare a stimare o maggiorare/minorare la quantità in modulo. Proverei con quest'ultimo modo:
sup$|(logn)/(n^4 + x^2)| < | n/(n^4 + x^2)| \sim |n/n^4| = |1/n^3|$
Beh tolgo il modulo visto che si tratta di quantità positive.
La serie data è asintotica alla serie:
$\sum 1/n^3$ che è una p-serie convergente, poichè $p=3>2$.
Dunque la serie dei sup converge per crf asintotico e quindi la seire data converge totalmente e quindi uniformemente su $RR$.
ESERCIZIO 2
Sia data la successione
$f_n (x) = x^(sqrtn) e^(x^2 /n)$ per $x>=0$
Studiarne convergenza puntuale e uniforme (eventualmente specificando su quali sottointervalli la convergenza è uniforme)
Convergenza puntuale:
$x=0$ $f_n(0) = 0$ converge
$0
$x=1$ $f_n (x) =1$ converge
$x>1$ $f_n (x) rarr oo$ non converge.
L'insieme di convergenza puntuale è $E_0 = [0,1]$ e la funzione limite è:
f= 0 se $0<=x<1$
1 se $x=1$
Convergenza uniforme
Innanzitutto noto che la funzione f non è continua in intorni di x=1; pertanto la convergenza non potrà essere uniforme in intervalli contenenti 1.
Valuto quindi l'eventuale convergenza in intervalli del tipo $[0, a]$ con $a<1$.
sup $|f_n (x) - f(x) | =$ sup$| x^(sqrtn) e^(x^2 /n)$
La funzione è crescente e positiva, quindi
sup $| x^(sqrtn) e^(x^2 /n)| <= a^(sqrtn) e^(a^2 /n) rarr 0^+ 1 =0$
La convergenza è uniforme in intervalli $[0,a]$
Come vanno? Mi scuso per la scrittura qua e là un po' grezza.
Grazie mille per l'aiuto e buona giornata.
Sto iniziando ad affrontare lo studio di successioni e serie di funzioni, e mi sto cimentando con qualche esercizio.
Provo a postare un esercizio su una successione e uno su una serie da me svolti (spero perdonerete eventuali e molto probabili castronerie
)Potreste dirmi come vanno?
ESERCIZIO 1
E' data la successione
$f_n (x) = (logn)/(n^4 + x^2)$.
Studiare convergenza puntuale, totale ed uniforme della serie $\sum f_n$.
Dunque: per la convergenza puntuale basta studiare $x>=0$ perchè la funzione è pari.
$(logn)/(n^4 + x^2) rarr 0$ per $n rarr oo$
Quindi $\sum f_n$ converge puntualmente in $RR$.
Studio poi la convergneza totale ed uniforme.
In particolare inizio a valutare se c'è convergenza totale, dunque studio la serie dei sup:
$\sum$ (sup$ |f_n(x) |$ (fa un po' schifo scritto così, sorry
).Ora per studiare il sup posso o studiare la derivata, oppure provare a stimare o maggiorare/minorare la quantità in modulo. Proverei con quest'ultimo modo:
sup$|(logn)/(n^4 + x^2)| < | n/(n^4 + x^2)| \sim |n/n^4| = |1/n^3|$
Beh tolgo il modulo visto che si tratta di quantità positive.
La serie data è asintotica alla serie:
$\sum 1/n^3$ che è una p-serie convergente, poichè $p=3>2$.
Dunque la serie dei sup converge per crf asintotico e quindi la seire data converge totalmente e quindi uniformemente su $RR$.
ESERCIZIO 2
Sia data la successione
$f_n (x) = x^(sqrtn) e^(x^2 /n)$ per $x>=0$
Studiarne convergenza puntuale e uniforme (eventualmente specificando su quali sottointervalli la convergenza è uniforme)
Convergenza puntuale:
$x=0$ $f_n(0) = 0$ converge
$0
$x=1$ $f_n (x) =1$ converge
$x>1$ $f_n (x) rarr oo$ non converge.
L'insieme di convergenza puntuale è $E_0 = [0,1]$ e la funzione limite è:
f= 0 se $0<=x<1$
1 se $x=1$
Convergenza uniforme
Innanzitutto noto che la funzione f non è continua in intorni di x=1; pertanto la convergenza non potrà essere uniforme in intervalli contenenti 1.
Valuto quindi l'eventuale convergenza in intervalli del tipo $[0, a]$ con $a<1$.
sup $|f_n (x) - f(x) | =$ sup$| x^(sqrtn) e^(x^2 /n)$
La funzione è crescente e positiva, quindi
sup $| x^(sqrtn) e^(x^2 /n)| <= a^(sqrtn) e^(a^2 /n) rarr 0^+ 1 =0$
La convergenza è uniforme in intervalli $[0,a]$
Come vanno? Mi scuso per la scrittura qua e là un po' grezza.
Grazie mille per l'aiuto e buona giornata.
Risposte
Il primo esercizio è ok 
.
Il secondo non ho proseguito per pigrizia
Ciao
.Il secondo non ho proseguito per pigrizia
Ciao
Per scrivere $"sup"$ usa le virgolette: \$"sup"\$.
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