Successioni e serie
Data la successione
$a_n=(1/(2e^n)) $
determinare se la serie
$\sum_{k=}^infty (a_(n+1) - a_n) $
converge e calcolare la somma .
Il mio dubbio è bisogna procedere sostituendo $(1/(2e^n)) $ alla serie e procedere ponendo la stessa tra $-1$ e $1$???
Mi aiutate per favore grazie!
$a_n=(1/(2e^n)) $
determinare se la serie
$\sum_{k=}^infty (a_(n+1) - a_n) $
converge e calcolare la somma .
Il mio dubbio è bisogna procedere sostituendo $(1/(2e^n)) $ alla serie e procedere ponendo la stessa tra $-1$ e $1$???
Mi aiutate per favore grazie!
Risposte
C'è certamente qualche errore, $a_n-a_n+1=1$, e temo tu non voglia calcolare la somma di 1 infinite volte (questa serie diverge).
Ho modificato il testo.. avevo infatti sbagliato i pedici!!
Ciao Esy59,
Sì, la serie proposta converge, infatti si ha:
$ sum_{n=1}^infty (a_{n + 1} - a_n) = sum_{n=1}^infty (frac{1}{2e^{n + 1}} - frac{1}{2e^{n}}) = frac{1}{2} (1/e - 1) sum_{n=1}^infty 1/e^n = frac{1 - e}{2e} sum_{n=1}^infty (1/e)^n = $
$ = frac{1 - e}{2e} [sum_{n=0}^infty (1/e)^n - 1] = frac{1 - e}{2e} [frac{1}{1 - 1/e} - 1] = frac{1 - e}{2e} [frac{e}{e - 1} - 1] = $
$ = frac{1 - e}{2e} \cdot frac{1}{e - 1} = - frac{1}{2e} $
Sì, la serie proposta converge, infatti si ha:
$ sum_{n=1}^infty (a_{n + 1} - a_n) = sum_{n=1}^infty (frac{1}{2e^{n + 1}} - frac{1}{2e^{n}}) = frac{1}{2} (1/e - 1) sum_{n=1}^infty 1/e^n = frac{1 - e}{2e} sum_{n=1}^infty (1/e)^n = $
$ = frac{1 - e}{2e} [sum_{n=0}^infty (1/e)^n - 1] = frac{1 - e}{2e} [frac{1}{1 - 1/e} - 1] = frac{1 - e}{2e} [frac{e}{e - 1} - 1] = $
$ = frac{1 - e}{2e} \cdot frac{1}{e - 1} = - frac{1}{2e} $
Considera che $b_n:=a_(n+1)-a_n=1/e^n((1-e)/(2e))$
Quindi $sum_(n=0)^(k)b_n=((1-e)/(2e))sum_(n=0)^(k)(1/e)^n$
Cosa ti ricorda quella somma parziale?
Quindi $sum_(n=0)^(k)b_n=((1-e)/(2e))sum_(n=0)^(k)(1/e)^n$
Cosa ti ricorda quella somma parziale?
Qualunque sia la successione $a_n$, la serie
\[\sum_{n=0}^\infty (a_{n+1}-a_n)\]
è detta la serie telescopica associata ad $a_n$, ed essa converge/diverge se e solo se converge/diverge $a_n$. Infatti, detta $s_n$ la $n$-esima somma parziale dalla serie, si ha:
\[s_0=a_1-a_0\\
s_1=(a_1-a_0)+(a_2-a_1)=a_2-a_0\\
s_2=(a_1-a_0)+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)=a_3-a_0\\
\cdots\\
s_n=a_{n+1}-a_0
\]
Da qui puoi calcolare anche la somma della serie, se $a_n$ ammette limite:
\[\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}-a_n=-a_0+\lim_{n\to\infty}a_n\]
\[\sum_{n=0}^\infty (a_{n+1}-a_n)\]
è detta la serie telescopica associata ad $a_n$, ed essa converge/diverge se e solo se converge/diverge $a_n$. Infatti, detta $s_n$ la $n$-esima somma parziale dalla serie, si ha:
\[s_0=a_1-a_0\\
s_1=(a_1-a_0)+(a_2-a_1)=a_2-a_0\\
s_2=(a_1-a_0)+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)=a_3-a_0\\
\cdots\\
s_n=a_{n+1}-a_0
\]
Da qui puoi calcolare anche la somma della serie, se $a_n$ ammette limite:
\[\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}-a_n=-a_0+\lim_{n\to\infty}a_n\]
Ciao Esy59,
Riguardando il tuo OP mi sono accorto che non hai specificato se la serie parte da $n = 0 $ o da $n = 1 $, cosa che è irrilevante ai fini della convergenza (converge in ogni caso), ma non lo è ai fini del calcolo della somma. Infatti se la serie parte da $n = 0 $ si ha:
$ sum_{n=0}^infty (a_{n + 1} - a_n) = sum_{n=0}^infty (frac{1}{2e^{n + 1}} - frac{1}{2e^{n}}) = frac{1}{2} (1/e - 1) sum_{n=0}^infty 1/e^n = frac{1 - e}{2e} sum_{n=0}^infty (1/e)^n = $
$ = frac{1 - e}{2e} (frac{1}{1 - 1/e}) = frac{1 - e}{2e} (frac{e}{e - 1}) = - 1/2 $
Se invece la serie parte da $n = 1 $ il calcolo è quello che ti ho già scritto nel mio post precedente.
Perciò in definitiva con $a_n := frac{1}{2e^n} $ si ha:
[tex]\begin{equation}
\boxed{\sum_{n=0}^{+\infty} (a_{n + 1} - a_n) = \sum_{n=0}^{+\infty} \bigg(\frac{1}{2e^{n + 1}} - \frac{1}{2e^{n}}\bigg) = - \frac{1}{2}}
\\
\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} (a_{n + 1} - a_n) = \sum_{n=1}^{+\infty} \bigg(\frac{1}{2e^{n + 1}} - \frac{1}{2e^{n}}\bigg) = - \frac{1}{2e}}
\end{equation}[/tex]
Riguardando il tuo OP mi sono accorto che non hai specificato se la serie parte da $n = 0 $ o da $n = 1 $, cosa che è irrilevante ai fini della convergenza (converge in ogni caso), ma non lo è ai fini del calcolo della somma. Infatti se la serie parte da $n = 0 $ si ha:
$ sum_{n=0}^infty (a_{n + 1} - a_n) = sum_{n=0}^infty (frac{1}{2e^{n + 1}} - frac{1}{2e^{n}}) = frac{1}{2} (1/e - 1) sum_{n=0}^infty 1/e^n = frac{1 - e}{2e} sum_{n=0}^infty (1/e)^n = $
$ = frac{1 - e}{2e} (frac{1}{1 - 1/e}) = frac{1 - e}{2e} (frac{e}{e - 1}) = - 1/2 $
Se invece la serie parte da $n = 1 $ il calcolo è quello che ti ho già scritto nel mio post precedente.
Perciò in definitiva con $a_n := frac{1}{2e^n} $ si ha:
[tex]\begin{equation}
\boxed{\sum_{n=0}^{+\infty} (a_{n + 1} - a_n) = \sum_{n=0}^{+\infty} \bigg(\frac{1}{2e^{n + 1}} - \frac{1}{2e^{n}}\bigg) = - \frac{1}{2}}
\\
\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} (a_{n + 1} - a_n) = \sum_{n=1}^{+\infty} \bigg(\frac{1}{2e^{n + 1}} - \frac{1}{2e^{n}}\bigg) = - \frac{1}{2e}}
\end{equation}[/tex]
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