Successioni e punti di accumulazione
Ciao a tutti, potreste aiutarmi a risolvere il seguente problema?
Siano $x_n$ e $y_n$ due successioni su $X$ spazio metrico compatto. Se esiste una permutazione $\tau$ di $\mathbb{N}$ tale che
$lim_{n \to \infty}d(x_n, y_{\tau(n)})=0$ allora $A(x_n)=A(y_n)$, dove $A(x_n), A(y_n)$ sono gli insiemi derivati delle due successioni.
Il mio problema è dare un significato al limite! Vorrei sfruttare la completezza dello spazio ma non vedo successioni di Cauchy all'orizzonte
Siano $x_n$ e $y_n$ due successioni su $X$ spazio metrico compatto. Se esiste una permutazione $\tau$ di $\mathbb{N}$ tale che
$lim_{n \to \infty}d(x_n, y_{\tau(n)})=0$ allora $A(x_n)=A(y_n)$, dove $A(x_n), A(y_n)$ sono gli insiemi derivati delle due successioni.
Il mio problema è dare un significato al limite! Vorrei sfruttare la completezza dello spazio ma non vedo successioni di Cauchy all'orizzonte
Risposte
Ciao
Giusto per sicurezza per insiemi derivati intendi gli insiemi dei punti di accumulazione delle due successioni, no?
Che cosa intendi con dare un significato al limite? E' un normalissimo limite di una successione e sai per ipotesi che esiste e che vale $0$.
EDIT: avevo scritto una fesseria bella grossa, chiedo scusa.
Giusto per sicurezza per insiemi derivati intendi gli insiemi dei punti di accumulazione delle due successioni, no?
Che cosa intendi con dare un significato al limite? E' un normalissimo limite di una successione e sai per ipotesi che esiste e che vale $0$.
EDIT: avevo scritto una fesseria bella grossa, chiedo scusa.
Scusa Leonardo ma non c'è un teorema che dice che ogni spazio metrico compatto è completo?
Si appunto grazie ho cancellato subito la scemenza. 
Sì, per insieme derivato intendo proprio l'insieme dei punti di accumulazione delle due successioni. Ma che relazione c'è con la successione di partenza? Si può dedurre che $ lim_{n to infty}d(x_n, y_n)=0 $ ?
"maria rita":
Si può dedurre che $ lim_{n to infty}d(x_n, y_n)=0 $ ?
No ma ciò non costituisce essere un problema.
Il fatto è che l'insieme dei punti di accumulazione si definisce di un insieme in un certo spazio metrico (topologico): non ha senso dire l'insieme dei punti di accumulazione di una successione, cioè di una funzione.
Ciò che effettivamente il problema chiede di dimostrare è che gli insiemi dei punti di accumulazione delle immagini delle due successioni sono identici ma si può notare che la successione $y_n$ ed $y_{\tau(n)}$ hanno la stessa immagine...
Non so se sono riuscito a spiegarmi...
Comunque vorrei segnalare che sulla questione "definizione di punto di accumulazione" c'è un po' di confusione, ogni autore dà una sfumatura diversa. Nello specifico, presumo che la definizione adottata da maria rita sia la seguente.
Definizione Sia $(x_n)_{n \in NN}$ una successione in uno spazio metrico $X$. Si dice che $x \in X$ è un punto di accumulazione per $(x_n)$ se esiste una successione $(x_{k(n)})_{n \in NN}$ estratta da $(x_n)$ e tale che $x_{k(n)}\to x$.
(Nota: questo corrisponde a richiedere che $x$ sia un elemento della chiusura dell'insieme ${x_1, x_2, x_3, \ldots}$. Parlando di punto di accumulazione di un insieme, in genere si richiede una condizione leggermente più forte di questa.)
Giusto?
Definizione Sia $(x_n)_{n \in NN}$ una successione in uno spazio metrico $X$. Si dice che $x \in X$ è un punto di accumulazione per $(x_n)$ se esiste una successione $(x_{k(n)})_{n \in NN}$ estratta da $(x_n)$ e tale che $x_{k(n)}\to x$.
(Nota: questo corrisponde a richiedere che $x$ sia un elemento della chiusura dell'insieme ${x_1, x_2, x_3, \ldots}$. Parlando di punto di accumulazione di un insieme, in genere si richiede una condizione leggermente più forte di questa.)
Giusto?
mi sa che qui si intende derivato come l'insieme dei limiti di tutte le sottosuccessioni
vedasi:
https://www.matematicamente.it/forum/una ... 64681.html
la cosa così è semplice
se ho una sottosuccessione della prima che converge, la corrispondente sottosuccessione ottenuta permutando gli indici della sottosuccessione convergerà allo stesso limite
e viceversa: le permutazioni sono invertibili
PS: fregato sul tempo...
vedasi:
https://www.matematicamente.it/forum/una ... 64681.html
la cosa così è semplice
se ho una sottosuccessione della prima che converge, la corrispondente sottosuccessione ottenuta permutando gli indici della sottosuccessione convergerà allo stesso limite
e viceversa: le permutazioni sono invertibili
PS: fregato sul tempo...
Scusate ma così un punto isolato può diventare di accumulazione?!?
[EDIT: ok d'accordo va bene se si parla di punti limite ma non chiamiamoli punti di accumulazione, allora...]
Inoltre dissonance la chiusura di un insieme comprende l'insieme stesso: sei sicuro? Oppure sono io che sto sparando scemenze data l'ora...
[EDIT: ok d'accordo va bene se si parla di punti limite ma non chiamiamoli punti di accumulazione, allora...]
Inoltre dissonance la chiusura di un insieme comprende l'insieme stesso: sei sicuro? Oppure sono io che sto sparando scemenze data l'ora...
Si, sono sicuro. Un punto isolato per l'immagine di una successione può essere di accumulazione in questo nuovo senso se esso è assunto per infiniti indici. Pure io tendo a distinguere tra punti limite e punti di accumulazione di una successione per evitare questa confusione, ma non lo fanno tutti.
In realtà, all'atto pratico poi non è tanto importante, almeno a quanto ho potuto vedere finora.
In realtà, all'atto pratico poi non è tanto importante, almeno a quanto ho potuto vedere finora.
Ripeto, forse sbaglio io ma...
Tutta l'immagine della successione fa parte della chiusura dell'insieme ${x_1, x_2, x_3, \ldots}$ quindi con questa caratterizzazione sparirebbe la condizione sul numero infinito di indici.
"dissonance":
Definizione Sia $(x_n)_{n \in NN}$ una successione in uno spazio metrico $X$. Si dice che $x \in X$ è un punto di accumulazione per $(x_n)$ se esiste una successione $(x_{k(n)})_{n \in NN}$ estratta da $(x_n)$ e tale che $x_{k(n)}\to x$.
(Nota: questo corrisponde a richiedere che $x$ sia un elemento della chiusura dell'insieme ${x_1, x_2, x_3, \ldots}$.
Tutta l'immagine della successione fa parte della chiusura dell'insieme ${x_1, x_2, x_3, \ldots}$ quindi con questa caratterizzazione sparirebbe la condizione sul numero infinito di indici.
Si, si, hai ragione. E' vero, questa caratterizzazione dei punti di accumulazione non riconosce la chiusura dell'immagine ma un suo particolare sottoinsieme.
dissonance, continuo a non capire. 
Con la tua "caratterizzazione" ogni punto dell'immagine della successione, quindi anche ogni punto isolato che viene "assunto" anche solo una volta, diventa un punto di accumulazione. La chiusura di un insieme non comprende l'insieme stesso? Cioè almeno io conosco la definizione di chiusura di un insieme come l'intersezione di tutti i chiusi che contengono l'insieme in questione.
Come puoi inoltre mettere in relazione una condizione molto forte (la definizione di punto limite) che necessita dell'informazione portata da tutta la funzione successione con un qualcosa che è solo un insieme, cioè solo con l'immagine di tale successione, di tale funzione?
Giusto per capirci poi la funzione dei naturali nei naturali che serve per determinare la sottosuccessione la richiedi anche tu strettamente crescente?
Con la tua "caratterizzazione" ogni punto dell'immagine della successione, quindi anche ogni punto isolato che viene "assunto" anche solo una volta, diventa un punto di accumulazione. La chiusura di un insieme non comprende l'insieme stesso? Cioè almeno io conosco la definizione di chiusura di un insieme come l'intersezione di tutti i chiusi che contengono l'insieme in questione.
Come puoi inoltre mettere in relazione una condizione molto forte (la definizione di punto limite) che necessita dell'informazione portata da tutta la funzione successione con un qualcosa che è solo un insieme, cioè solo con l'immagine di tale successione, di tale funzione?
Giusto per capirci poi la funzione dei naturali nei naturali che serve per determinare la sottosuccessione la richiedi anche tu strettamente crescente?
Suggerimento: andiamo alla sostanza.
Ci sono due e solo due cose importanti.
1. L'immagine della successione. Essa è un sottoinsieme di $RR$ e per essa si usano le solite def da spazio topologico
2. I punti che sono limite di successioni estratte.
Basta, non serve altro.
Uno si fissa la sua terminologia e sta attento a non fare confusione.
That's all folks!
Ci sono due e solo due cose importanti.
1. L'immagine della successione. Essa è un sottoinsieme di $RR$ e per essa si usano le solite def da spazio topologico
2. I punti che sono limite di successioni estratte.
Basta, non serve altro.
Uno si fissa la sua terminologia e sta attento a non fare confusione.
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