Successioni e o piccolo
Buonasera a tutti.
svolgendo degli esercizi sui limiti di successioni mi è sorto un dubbio (vi faccio direttamente un esempio):
devo calcolare
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1} - \sqrt[3]{3n^6 - n^5 - 2}}{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1}} \)
dato che i "termini che contano" sono quelli con l'esponente 6, posso scrivere i restanti come \(\displaystyle o(n^6) \) in ogni radice, per portarmi idetro meno termini?
svolgendo degli esercizi sui limiti di successioni mi è sorto un dubbio (vi faccio direttamente un esempio):
devo calcolare
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1} - \sqrt[3]{3n^6 - n^5 - 2}}{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1}} \)
dato che i "termini che contano" sono quelli con l'esponente 6, posso scrivere i restanti come \(\displaystyle o(n^6) \) in ogni radice, per portarmi idetro meno termini?
Risposte
"cntntn":
Buonasera a tutti.
svolgendo degli esercizi sui limiti di successioni mi è sorto un dubbio (vi faccio direttamente un esempio):
devo calcolare
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1} - \sqrt[3]{3n^6 - n^5 - 2}}{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1}} \)
dato che i "termini che contano" sono quelli con l'esponente 6, posso scrivere i restanti come \(\displaystyle o(n^6) \) in ogni radice, per portarmi idetro meno termini?
Nel caso in questione ti conviene razionalizzare il numeratore moltiplicando num. e den. per
\(\displaystyle {\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1} + \sqrt[3]{3n^6 - n^5 - 2} } \)
PS. Non visualizza la formula ....
si, lo sapevo già.... il problema è che devo fare troppi conti, per questo volevo sapere se posso trascurare i termini con gli esponenti più piccoli e mettere al loro posto un o piccolo
nessunosa aiutarmi? 
@Quinzio: io vedo scritto
@cntntn: sentiamo, come vorresti utilizzare gli o-piccoli?
\displaystyle {\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1} + \sqrt[3]{3n^6 - n^5 - 2} ma così non razionalizzi nulla. La scomposizione corretta è \[\displaystyle a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \]@cntntn: sentiamo, come vorresti utilizzare gli o-piccoli?
si, avevo fatto come hai scritto tu 
comunque ora lasciando stare gli o piccoli (farò tanti conti inutili, ma vabè), già che ci siamo vorrei chiedervi informazioni su come procedere su un paio di limiti su cui ho dubbi:
A) \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(5n)!} {(4n)!^2} \)
Posso usare il teorema dei carabinieri e dire che è maggiore di 0 e minore di \(\displaystyle \frac{(5n)!} {(n^n)^2} \), quindi tende a zero?
B) \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sum_{{{k}={0}}}^{{n}}}{(sin(3))^k} \)
Qui non sono arrivato da nessuna parte, ho scritto il generico termine in forma esplicita, provato ad applicare il torema dei carabinieri, ma non sono riuscito a fare niente... e mi sembra ache giusto, essendo una serie converge, e convergerà a qualcosa tra 1 e 2, quindi con i carabinieri non ci posso fare niente.... qualcuno ha qualche suggerimento?
comunque ora lasciando stare gli o piccoli (farò tanti conti inutili, ma vabè), già che ci siamo vorrei chiedervi informazioni su come procedere su un paio di limiti su cui ho dubbi:
A) \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(5n)!} {(4n)!^2} \)
Posso usare il teorema dei carabinieri e dire che è maggiore di 0 e minore di \(\displaystyle \frac{(5n)!} {(n^n)^2} \), quindi tende a zero?
B) \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sum_{{{k}={0}}}^{{n}}}{(sin(3))^k} \)
Qui non sono arrivato da nessuna parte, ho scritto il generico termine in forma esplicita, provato ad applicare il torema dei carabinieri, ma non sono riuscito a fare niente... e mi sembra ache giusto, essendo una serie converge, e convergerà a qualcosa tra 1 e 2, quindi con i carabinieri non ci posso fare niente.... qualcuno ha qualche suggerimento?
nessuno mi sa aiutare?
Io per il primo proverei il criterio del rapporto visto che sono entrambi a termini positivi 
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(5n+5)!} {(4n+4)!^2} \frac{(4n)!^2} {(5n)!}\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n!)} {((4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n!))^2} \frac {(4n)!^2} {(5n)!}\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)} {((4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1))^2} \)
Il numeratore avrà termini dell'ordine di $n^5$, mentre il denominatore di ordine $n^8$, quindi il rapporto di $a_(n+1)/a_n=0$ e quindi anche il limite di partenza è $0$
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(5n+5)!} {(4n+4)!^2} \frac{(4n)!^2} {(5n)!}\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n!)} {((4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n!))^2} \frac {(4n)!^2} {(5n)!}\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)} {((4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1))^2} \)
Il numeratore avrà termini dell'ordine di $n^5$, mentre il denominatore di ordine $n^8$, quindi il rapporto di $a_(n+1)/a_n=0$ e quindi anche il limite di partenza è $0$
Grazie mille per l'aiuto 
ma c'è per caso qualche proprietà dei fattoriali quando sono in una situazione del tipo:
\(\displaystyle (6n)!(3n)! \)
o comunque qualche cosa che si può fare quando il fattoriale è fuori dalle parentesi?
ma c'è per caso qualche proprietà dei fattoriali quando sono in una situazione del tipo:
\(\displaystyle (6n)!(3n)! \)
o comunque qualche cosa che si può fare quando il fattoriale è fuori dalle parentesi?
"cntntn":
B) \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sum_{{{k}={0}}}^{{n}}}{(sin(3))^k} \)
Qui non sono arrivato da nessuna parte, ho scritto il generico termine in forma esplicita, provato ad applicare il torema dei carabinieri, ma non sono riuscito a fare niente... e mi sembra ache giusto, essendo una serie converge, e convergerà a qualcosa tra 1 e 2, quindi con i carabinieri non ci posso fare niente.... qualcuno ha qualche suggerimento?
$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^N \sin^k3$ non è altro che il limite delle somme parziali della serie
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{\infty} \sin^k3
\end{align*}
che è una serie geometrica di ragione $\sin 3<1$ e dunque convergente alla somma $S_n=\frac{\sin 3}{1-\sin 3},$ e dunque
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^N \sin^k3=\frac{\sin 3}{1-\sin 3}
\end{align*}
mi spieghi gentilmente come hai fatto ad arrivare alla somma \(\displaystyle s_n \) ?
e la somma della serie geometrica
è vero... grazie mille, me ne ero proprio dimenticato
Riguardo al primo che hai scritto direi che:
\begin{align}
\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1} - \sqrt[3]{3n^6 - n^5 - 2}}{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1}} &= \lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1} }{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1}} - \lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt[3]{3n^6 - n^5 - 2}}{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1}} \\
&= 1 - \lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt[3]{3n^6 - n^5 - 2}}{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1}} \\
&= 1 - \lim_{x\to \infty}\sqrt[3]{\frac{3n^6 - n^5 - 2}{3n^6 - 2n^5 + 1} }\\
&= 1 - \sqrt[3]{\lim_{x\to \infty}\frac{3n^6 - n^5 - 2}{3n^6 - 2n^5 + 1} }
\end{align}
e da qui direi che è banale. Non serviva razionalizzare.
\begin{align}
\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1} - \sqrt[3]{3n^6 - n^5 - 2}}{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1}} &= \lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1} }{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1}} - \lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt[3]{3n^6 - n^5 - 2}}{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1}} \\
&= 1 - \lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt[3]{3n^6 - n^5 - 2}}{\sqrt[3]{3n^6 - 2n^5 + 1}} \\
&= 1 - \lim_{x\to \infty}\sqrt[3]{\frac{3n^6 - n^5 - 2}{3n^6 - 2n^5 + 1} }\\
&= 1 - \sqrt[3]{\lim_{x\to \infty}\frac{3n^6 - n^5 - 2}{3n^6 - 2n^5 + 1} }
\end{align}
e da qui direi che è banale. Non serviva razionalizzare.
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