Successioni e o-piccoli

[Elyob1]

Ciao a tutti! Tra un paio di giorni ho un test in itinere di analisi e ho visto che nei vecchi compiti c'è quasi sempre come esercizio di calcolare il limite di una successione. Per esempio $ lim_{n\to\+infty} sqrt(n+sqrt(n))-sqrt(n-sqrt(n)) $ ho provato a risolverlo con gli o-piccoli in questo modo:
$ sqrt (n)= o (n)$ infatti $ lim_{n\to\+infty}(sqrt (n))/n = lim_{n\to\+infty} 1/sqrt (n)=0 $
$-sqrt (n)=o (n) $ analogamente al caso precedente.
Quindi il limite iniziale è uguale a $ lim_{n\to\+ infty} sqrt(n+o (n))-sqrt (n+o (n))= lim_{n\to\+infty} sqrt (n)-sqrt (n) $ che ovviamente fa $0 $ essendo due quantità uguali. Eppure il risultato dovrebbe essere $1 $.
Perché non mi viene? Sbaglio in qualche punto o magari è proprio il procedimento che è sbagliato? Come si risolve?
Grazie per l'aiuto

[ViciousGoblin]

"Elyob":
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Quindi il limite iniziale è uguale a $ lim_{n\to\+ infty} sqrt(n+o (n))-sqrt (n+o (n))= lim_{n\to\+infty} sqrt (n)-sqrt (n) $
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Questo passaggio è sbagliato
Non c'è nessun teorema che ti permetta di buttare via gli $o(n)$ in quell'espressione.

Un modo per fare il limite è usando la formula $\sqrt{1+x}=1+x/2 +o(x)$, valida per $x\to0$, da cui:
$\sqrt{n+\sqrt{n}}=\sqrt{n}(\sqrt{1+1/\sqrt(n)})=\sqrt{n}(1+1/2 1/sqrt{n}+o(1/sqrt{n}))$
(si è usato $x=\frac{1}{\sqrt {n}}$) e analogamente
$\sqrt{n-\sqrt{n}}=\sqrt{n}(\sqrt{1-1/\sqrt(n)})=\sqrt{n}(1-1/2 1/sqrt{n}+o(1/sqrt{n}))$
da cui sottrendo trovi:
$\sqrt{n}((1+1/2 1/sqrt{n}+o(1/sqrt{n}))-(1-1/2 1/sqrt{n}+o(1/sqrt{n}))=$
$\sqrt{n}(1/\sqrt{n}+o(1/sqrt{n}))=1+o(1)\to1$.

[gugo82]

[ot]Se posso suggerire un'altra via, del tutto algebrica...

Razionalizzando al contrario ed usando un po' di algebra di bassissima lega, si trova:
\[
\begin{split}
\sqrt{n+\sqrt{n}} - \sqrt{n-\sqrt{n}} &= \left(\sqrt{n+\sqrt{n}} - \sqrt{n-\sqrt{n}}\right)\ \frac{\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n-\sqrt{n}}}{\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n-\sqrt{n}}}\\
&= \frac{n+\sqrt{n} - (n-\sqrt{n})}{\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n-\sqrt{n}}}\\
&= \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n-\sqrt{n}}}\\
&= \frac{2}{\frac{\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n-\sqrt{n}}}{\sqrt{n}}}\\
&= \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}} + \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}}
\end{split}
\]
e da ciò segue che il limite assegnato è uguale ad \(1\).

[/ot]

[Elyob1]

Grazie ad entrambi, siete stati chiarissimi mi è utile anche la soluzione algebrica

"ViciousGoblin":
Non c'è nessun teorema che ti permetta di buttare via gli $o(n)$ in quell'espressione.

Posso eliminare gli $ o (x) $ solo nella forma $(f (x)+o (x))/(g (x)+o (x) )$ ? Cioè deve esserci per forza una frazione per eliminare gli o-piccoli oppure in questo caso il problema è che siamo sotto radice?

"ViciousGoblin":Un modo per fare il limite è usando la formula $ \sqrt{1+x}=1+x/2 +o(x) $, valida per $ x\to0 $

Ecco questo è un passaggio già visto nei libri ma che continua a confondermi: se stiamo calcolando il limite per $ x\to infty $ possiamo calcolare gli $ o (x)$ per $ x\to0 $? La stessa cosa vale per le equivalenze locali. Non dovremmo svolgere l'esercizio tutto secondo $ x\to infty $ se il testo dell'esercizio parte da questo?

Mi è sorto un altro dubbio: è la stessa cosa calcolare il limite di una successione e il limite di una funzione? O dopo aver calcolato il limite di una successione devo svolgere qualche particolare verifica (per esempio che il limite trovato $ l\in N $)?

[ViciousGoblin]

Riguardo a "posso eliminare gli $o(x)$ solo nella forma ..." la risposta è sostanzialmente sì. (dire che non si possa fare altro sarebbe probabilmente riduttivo, ma la regola principale per buttare via gli o piccoli è sicuramente quella). La cosa che principalmente NON
si può fare è passare da $(f(x)+o(f(x)))+(g(x)+o(g(x))$ a $f(x)+g(x)$.

Riguardo alla seconda domanda la risposta è che la formula $\sqrt{1+x}=x/2+o(x)$ vale per $x\to0$ e quindi al posto di $x$ si può
mettere una qualunque successione $a_n$ TALE CHE $a_n\to0$.
Dunque si può ricavavare $\sqrt{1+1/n^2}=1+1/(2n^2)$ (per $n\to\infty$), mentre non si può scrivere $\sqrt{1+n}=1+n/2+o(n)$ (sempre per $n\to\infty$).

Ciao.