Successioni e limiti di successioni

[SteezyMenchi]

Salve mi servirebbe aiuto con delle successioni e degli esercizi un po' particolari cui non riesco proprio a venire a capo non avendoli mai svolti nemmeno col prof di analisi.

1. Provare che la successione $\{ a_n \}_(n in NN)$ definita per ricorrenza da

$\{ (a_0 = 0), (a_(n+1) = sqrt(2 + a_n)) :}$

soddisfa le seguenti proprietà:

[list=1][*:e2xhxxey] $a_n <= 2$ per ogni $n in NN$;

[/*:m:e2xhxxey]
[*:e2xhxxey] $a_n < a_(n+1)$ (è crescente).[/*:m:e2xhxxey][/list:o:e2xhxxey]

2. Stabilire se la successione di termine generale $a_n = log ((n + 3)/(n + 1))$ è monotona.

Grazie mille in anticipo a chi avrà voglia di aiutarmi

[gugo82]

Cosa hai provato?

Soprattutto per il secondo, che è abbastanza elementare.

[pilloeffe]

Ciao SteezyMenchi,

Benvenuto sul forum!

L'esercizio 2. effettivamente è piuttosto semplice...
Per il punto 1. dell'esercizio 1. comincerei con l'osservare che $a_n >= 0 \text{ } \AA n \in \NN $, ma è senz'altro positiva $\AA n >= 1 $, dunque certamente per $n = 1 $ si ha $0 < a_n < 2 $ (infatti $ 0 < a_1 = sqrt{2} < 2 $).
Supposto che sia vero per $n$ (cioè che $0 < a_n < 2 $), non ti resta che dimostrare che è vero anche per $n + 1 $ (cioè che $0 < a_{n + 1} < 2 $), infatti...

[SteezyMenchi]

"gugo82":Cosa hai provato?

Soprattutto per il secondo, che è abbastanza elementare.

Ho risolto più o meno tutto. l'unica cosa che mi fa rimanere perplesso è: per dimostrare che quel logaritmo è decrescente e quindi monotona ho provato in due modi:
1-)ho provato con la dimostrazione standard e ho sostituito n+1 al posto di n e ho provato a vedere quale disuguaglianza si stabiliva tra il termine ennesimo e il suo successivo (questo metodo mi sembra sbagliato)
2-) allora ho deciso di calcolare il limite della successione, ho trovato che essa è infinitesima ed essendo essa anche limitata superiormente ho quindi dimostrato che è decrescente e quindi monotona

[gugo82]

"SteezyMenchi":[quote="gugo82"]Cosa hai provato?

Soprattutto per il secondo, che è abbastanza elementare.

Ho risolto più o meno tutto. l'unica cosa che mi fa rimanere perplesso è: per dimostrare che quel logaritmo è decrescente e quindi monotona ho provato in due modi:
1-)ho provato con la dimostrazione standard e ho sostituito n+1 al posto di n e ho provato a vedere quale disuguaglianza si stabiliva tra il termine ennesimo e il suo successivo (questo metodo mi sembra sbagliato)[/quote]
Questo è corretto, ma devi fare i calcoli per bene.

"SteezyMenchi":2-) allora ho deciso di calcolare il limite della successione, ho trovato che essa è infinitesima ed essendo essa anche limitata superiormente ho quindi dimostrato che è decrescente e quindi monotona

Ah, bene... Considera la successione:

$a_n := \{(1/(k + 1), ", se " n = 2k), (0, ", se " n = 2k + 1):}$

è limitata superiormente? Per caso è pure infinitesima? E si può dire che è strettamente decrescente?
Alla luce di quanto trovi, il tuo ragionamento è corretto? O stai usando "al contrario" un teorema il cui inverso non è valido?

Guardandola in altro modo, giocando con l'argomento del logaritmo trovi:

$a_n = log((n + 3)/(n + 1)) = log((n + 1 + 2)/(n + 1)) = log(1 + 2/(n + 1))$

sicché $a_n = g(1 + f(n))$ con $f(x) = 2/(x + 1)$ e $g(y) = log y$; la $f$ è strettamente decrescente in $]-1, + oo[$, quindi tale è la sua restrizione ad $NN$ ed analogamente lo è $1 + f(n)$, mentre la $g$ è strettamente crescente in $]0, +oo[$; ne viene che la funzione composta $g(1 + f(n)) = a_n$ conserva la monotonia della componente interna, perciò $a_n$ è...?

[qualcuno4]

$$a_{n+1}-a_{n}=ln(\frac{n+4}{n+2})-ln(\frac{n+3}{n+1})=ln\frac{(n+4)(n+1)}{(n+2)(n+3)}=ln\frac{n^{2}+5n+4}{n^{2}+5n+6}
quindi

$a_{n+1}

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[SteezyMenchi]

"gugo82":[quote="SteezyMenchi"]2-) allora ho deciso di calcolare il limite della successione, ho trovato che essa è infinitesima ed essendo essa anche limitata superiormente ho quindi dimostrato che è decrescente e quindi monotona

Ah, bene... Considera la successione:

$a_n := \{(1/(k + 1), ", se " n = 2k), (0, ", se " n = 2k + 1):}$

è limitata superiormente? Per caso è pure infinitesima? E si può dire che è strettamente decrescente?
Alla luce di quanto trovi, il tuo ragionamento è corretto? O stai usando "al contrario" un teorema il cui inverso non è valido?[/quote]
Sull'Acerbi & Buttazzo il teorema 5.40 dice che una successione monotona ha limite: non posso invertire il teorema così da avere una condizione sufficiente al più? Adesso che ci penso invertire i teoremi di analisi la maggior parte delle volte non funziona perciò hai ragione. Colpa mia sono stato troppo impulsivo.

"gugo82":Guardandola in altro modo, giocando con l'argomento del logaritmo trovi:

$a_n = log((n + 3)/(n + 1)) = log((n + 1 + 2)/(n + 1)) = log(1 + 2/(n + 1))$

sicché $a_n = g(1 + f(n))$ con $f(x) = 2/(x + 1)$ e $g(y) = log y$; la $f$ è strettamente decrescente in $]-1, + oo[$, quindi tale è la sua restrizione ad $NN$ ed analogamente lo è $1 + f(n)$, mentre la $g$ è strettamente crescente in $]0, +oo[$; ne viene che la funzione composta $g(1 + f(n)) = a_n$ conserva la monotonia della componente interna, perciò $a_n$ è...?

Il fatto che la composizione di due funzione conservi la monotonia di quella interna non lo abbiamo mai visto: è un teorema che non conosco oppure lo si deduce per la natura della composizione stessa? comunque grazie almeno adesso posso affermare che $a_n$ è decrescente e quindi ho dimostrato che è monotona.

[pilloeffe]

@ SteezyMenchi

qualcuno ti ha risolto la 2., ora prova tu coi punti 1. e 2. della 1....

[gugo82]

"SteezyMenchi":[quote="gugo82"][quote="SteezyMenchi"]2-) allora ho deciso di calcolare il limite della successione, ho trovato che essa è infinitesima ed essendo essa anche limitata superiormente ho quindi dimostrato che è decrescente e quindi monotona

Ah, bene... Considera la successione:

$a_n := \{(1/(k + 1), ", se " n = 2k), (0, ", se " n = 2k + 1):}$

è limitata superiormente? Per caso è pure infinitesima? E si può dire che è strettamente decrescente?
Alla luce di quanto trovi, il tuo ragionamento è corretto? O stai usando "al contrario" un teorema il cui inverso non è valido?[/quote]
Sull'Acerbi & Buttazzo il teorema 5.40 dice che una successione monotona ha limite: non posso invertire il teorema così da avere una condizione sufficiente al più? Adesso che ci penso invertire i teoremi di analisi la maggior parte delle volte non funziona perciò hai ragione. Colpa mia sono stato troppo impulsivo.[/quote]
"La maggior parte delle volte" come si formalizza? Secondo te è un argomento valido?

Piuttosto che perderti dietro a inutili considerazioni numeriche (tipo "su quaranta teoremi, otto si invertono e gli altri trentadue no; quindi in generale..."), comincia a capire perché l'inverso di un teorema non vale.
Ciò si fa ragionando su possibili controesempi, come la successione che ti ho proposto.

"SteezyMenchi":[quote="gugo82"]Guardandola in altro modo, giocando con l'argomento del logaritmo trovi:

$a_n = log((n + 3)/(n + 1)) = log((n + 1 + 2)/(n + 1)) = log(1 + 2/(n + 1))$

sicché $a_n = g(1 + f(n))$ con $f(x) = 2/(x + 1)$ e $g(y) = log y$; la $f$ è strettamente decrescente in $]-1, + oo[$, quindi tale è la sua restrizione ad $NN$ ed analogamente lo è $1 + f(n)$, mentre la $g$ è strettamente crescente in $]0, +oo[$; ne viene che la funzione composta $g(1 + f(n)) = a_n$ conserva la monotonia della componente interna, perciò $a_n$ è...?

Il fatto che la composizione di due funzione conservi la monotonia di quella interna non lo abbiamo mai visto: è un teorema che non conosco oppure lo si deduce per la natura della composizione stessa? comunque grazie almeno adesso posso affermare che $a_n$ è decrescente e quindi ho dimostrato che è monotona.[/quote]
In realtà non hai dimostrato nulla. Al più hai intuito che vale un certo risultato, cioè hai elaborato una congettura (che, in alcuni casi -quali?- la composizione di due funzioni conservi la monotonia della componente interna).
Ora devi formalizzarla e dimostrarla: prova.