Successioni di intervalli

[valy1]

mase dico che una proprietà vale per ogni successione dell'intervallo X allora posso dire che vale per tutto X?

[gugo82]

A che proprietà ti riferisci?
Fai un esempio concreto.

[valy1]

ad esempio che l'estratta di quella succesisone converge..(una qualsiasi estratta)

[gugo82]

Quella di Bolzano-Weierstrass è una proprietà che si riferisce ad ogni successione $(x_n)$ contenuta in un insieme limitato $X$; non avrebbe senso dire che essa vale per tutto $X$, a meno che $X$ stesso non sia una successione.

Prendiamo la seguente definizione:

"Una parte $X\subseteq RR$ si dice a chiusura sequenzialmente compatta se e solo se, comunque si scelga una successione $(x_n) \subseteq X$, vale la seguente proprietà:

B-W) da $(x_n)$ si può estrarre una sottosuccessione $(x_(n_k))$ di Cauchy."

Evidentemente per dire che un insieme $X$ è a chiusura compatta devi sfruttare la definizione precedente, ossia devi far vedere che ogni successione di elementi di $X$ possiede qualche sottosuccessione di Cauchy (questo è quello che di solito si fa con Bolzano-Weierstrass in $RR$).

Si capisce che la proprietà B-W) non può essere applicata ad $X$ a meno che $X$ stesso non sia una successione; quindi non ha senso dire che $X$ gode della B-W) se $X$ è, ad esempio, un aperto limitato di $RR$.
Tuttavia se $X$ è un aperto limitato, allora ogni successione $(x_n)\subset X$ gode della B-W), quindi $X$ è a chiusura sequenzialmente compatta.

[valy1]

si nel mio caso X non è successione è un intervallo aperto infatti