Successioni di funzioni, metodo generale
Buongiorno a tutti,
ho una domanda diciamo "avanzata" sulle successioni di funzioni.
Credo benomale di averle capite e quindi mi sono messo a fare gli esercizi un po' più complicatini, ma mi sono bloccato subito.
Abbiamo la nostra successione di funzione. Troviamo la convergenza puntuale a f(x) e fuori uno.
Ora, convergenza uniforme in un dato intervallo.
Si fa il limite per n infinito dell'estremo superiore della differenza tra fn(x) e f(x) e fine dell'esercizio.
A farsi però è molto più complesso nel caso in cui sia sostanzialmente impossibile trovare il massimo della funzione in esame.
Esempio:
$ f_n(x):=e^{x/n}/{(x+n)^2+4} $
converge a f(x)=0 per ogni x reale.
Ora vogliamo la convergenza uniforme nel semiasse negativo x=(-inf, 0).
$ Sup_[x<0] |e^{x/n}/{(x+n)^2+4}-0|
In questo caso la dipendenza di x da n viene più complicata della funzione stessa. Non che non si possa fare per carità, ma mi domandavo se c'è un metodo più intelligente.
Ad esempio provando a maggiorare fn per valori di x nell'intervallo dato.
In questo caso:
$ |e^{x/n}/{(x+n)^2+4}| <|1/{(x+n)^2+4}| < |1/(x+n)| $ che tende a 0 per n->infinito e quindi la convergenza uniforme è dimostrata. Può funzionare una cosa così?
E se l'intervallo fosse stato (sempre dall'esercizio) (-2,3e²)? È un intervallo troppo brutto per trovare una regolarità tale da maggiorare fn e non saprei proprio che pesci pigliare.
Come avrete capito se avete avuto la pazienza di leggere tutta la domanda è questa: esiste un metodo generale per trovare l'estremo superiore di una succ. di funzioni nei casi in cui la derivata prima si rivelasse inutile/controproducente?
Grazie, ciao!
ho una domanda diciamo "avanzata" sulle successioni di funzioni.
Credo benomale di averle capite e quindi mi sono messo a fare gli esercizi un po' più complicatini, ma mi sono bloccato subito.
Abbiamo la nostra successione di funzione. Troviamo la convergenza puntuale a f(x) e fuori uno.
Ora, convergenza uniforme in un dato intervallo.
Si fa il limite per n infinito dell'estremo superiore della differenza tra fn(x) e f(x) e fine dell'esercizio.
A farsi però è molto più complesso nel caso in cui sia sostanzialmente impossibile trovare il massimo della funzione in esame.
Esempio:
$ f_n(x):=e^{x/n}/{(x+n)^2+4} $
converge a f(x)=0 per ogni x reale.
Ora vogliamo la convergenza uniforme nel semiasse negativo x=(-inf, 0).
$ Sup_[x<0] |e^{x/n}/{(x+n)^2+4}-0|
In questo caso la dipendenza di x da n viene più complicata della funzione stessa. Non che non si possa fare per carità, ma mi domandavo se c'è un metodo più intelligente.
Ad esempio provando a maggiorare fn per valori di x nell'intervallo dato.
In questo caso:
$ |e^{x/n}/{(x+n)^2+4}| <|1/{(x+n)^2+4}| < |1/(x+n)| $ che tende a 0 per n->infinito e quindi la convergenza uniforme è dimostrata. Può funzionare una cosa così?
E se l'intervallo fosse stato (sempre dall'esercizio) (-2,3e²)? È un intervallo troppo brutto per trovare una regolarità tale da maggiorare fn e non saprei proprio che pesci pigliare.
Come avrete capito se avete avuto la pazienza di leggere tutta la domanda è questa: esiste un metodo generale per trovare l'estremo superiore di una succ. di funzioni nei casi in cui la derivata prima si rivelasse inutile/controproducente?
Grazie, ciao!
Risposte
ok...avevo sbagliato i calcoli.
la derivata 1 non viene poi così impossibile, ma la domanda resta. Cos'avrei dovuto nel caso in cui la derivata fosse stata inutile?
la derivata 1 non viene poi così impossibile, ma la domanda resta. Cos'avrei dovuto nel caso in cui la derivata fosse stata inutile?
Avresti dovuto sudare sette volte sette camicie... In altre parole, non c'è un metodo generale che funzioni sempre; dipende caso per caso.
ahahaha...fantastico allora!
in ogni caso (giusto per completezza (e perchè di questo esercizio non ho la soluzione)) la derivata prima si annulla a: $ +- sqrt(n²-4) $
Nel primo caso, poichè le x sono negative, devo scegliere la radice con davanti il meno (da qualche parte l'esercizio diceva che x è reale). Sostituendolo in fn, ottengo che il limite per n->infinito è diverso da zero, quindi la convergenza non è uniforme.
Nel secondo caso invece, poichè l'intervallo ha x sia positive che negative posso scegliere quella che voglio (potrò davvero?) e sceglo quella positiva, la sostituisco, limito per n->infinito, fa zero, convergenza uniforme.
È giusto spero. Non ti dico di fare i calcoli che tanto ho superricontrollato, intendo proprio il procedimento.
in ogni caso (giusto per completezza (e perchè di questo esercizio non ho la soluzione)) la derivata prima si annulla a: $ +- sqrt(n²-4) $
Nel primo caso, poichè le x sono negative, devo scegliere la radice con davanti il meno (da qualche parte l'esercizio diceva che x è reale). Sostituendolo in fn, ottengo che il limite per n->infinito è diverso da zero, quindi la convergenza non è uniforme.
Nel secondo caso invece, poichè l'intervallo ha x sia positive che negative posso scegliere quella che voglio (potrò davvero?) e sceglo quella positiva, la sostituisco, limito per n->infinito, fa zero, convergenza uniforme.
È giusto spero. Non ti dico di fare i calcoli che tanto ho superricontrollato, intendo proprio il procedimento.
Suggerisco un possibile ragionamento per sbloccarti dallo stallo.
Hai:
\[
f_n(x) := \frac{\exp \left( \frac{x}{n}\right)}{(x+n)^2 + 4}\; ,
\]
definite e continue in tutto \(\mathbb{R}\), e vuoi studiarne la convergenza uniforme.
Chiaramente, la successione converge puntualmente in tutto \(\mathbb{R}\) verso la funzione nulla, \(f(x):=0\).
Per studiare la convergenza uniforme devi studiare il comportamento asintotico della successione numerica di termine generale:
\[
M_n := \sup_{x\in \mathbb{R}} \left| f_n(x) - f(x)\right|\; .
\]
Il modo più semplice (concettualmente) di cavarsi d'impaccio è cercare di determinare esplicitamente \(M_n\) con le regole del Calcolo; dato che \(f(x)=0\) e che \(f_n(x)>0\), hai:
\[
M_n = \sup_{x\in \mathbb{R}} \frac{\exp \left( \frac{x}{n}\right)}{(x+n)^2 + 4}\; ;
\]
ma è evidentissimo che \(M_n=+\infty\) per ogni indice \(n\) (perché \(f_n\) diverge positivamente in \(+\infty\)), cosicché la convergenza uniforme in tutto \(\mathbb{R}\) puoi scordartela.
Proviamo a vedere se la successione converge uniformemente in qualche sottoinsieme \(X\) "più piccolo" di tutto \(\mathbb{R}\).
Per fare ciò, dovresti cercare di determinare la quantità:
\[
M_n(X):= \sup_{x\in X} \left| f_n(x) - f(x)\right| = \sup_{x\in X} \frac{\exp \left( \frac{x}{n}\right)}{(x+n)^2 + 4}\; ,
\]
la quale, almeno in linea di principio, può essere calcolata svolgendo lo studio della monotònia di \(f_n\) in \(X\).
Dato che, come osservato sopra, quello che ti "frega" per la convergenza uniforme pare essere il fatto che la variabile \(x\) possa scappare verso \(+\infty\), comincia a guardare quello che succede se scegli \(X=]-\infty, a]\) con \(0\leq a<+\infty\) (in modo da eliminare la possibilità di "fuga verso \(+\infty\)").
Dato che \(f_n\in C^\infty (]-\infty, a[)\), la monotònia può essere studiata guardando il segno della derivata prima, la quale è:
\[
\begin{split}
f_n^\prime (x) &= \exp \left( \frac{x}{n}\right)\ \left( \frac{1}{n\ ((x+n)^2 + 4)} - \frac{2(x+n)}{((x+n)^2+4)^2}\right)\\
&= \frac{\exp \left( \frac{x}{n}\right)}{n\ ((x+n)^2 + 4)^2}\ \left( (x+n)^2 + 4 - 2n(x+n)\right)\\
&= \frac{\exp \left( \frac{x}{n}\right)}{n\ ((x+n)^2 + 4)^2}\ \left( x^2 - (n^2-4)\right)\; ,
\end{split}
\]
ed il suo segno dipende unicamente dal segno del fattore \(x^2 - (n^2-4)\). Chiaramente, per \(n=1,2\), si ha \(f_n^\prime (x)\geq 0\) ovunque, ergo:
\[
\begin{split}
M_1(]-\infty ,a]) &= f_1 (a) = \frac{\exp ( a)}{(a+1)^2 + 4}\\
M_2(]-\infty, a]) &= f_2(a) = \frac{\exp \left( \frac{a}{2}\right)}{(a+2)^2 + 4}\; .
\end{split}
\]
D'altro canto, quando \(n\geq 3\), si ha \(f_n^\prime (x)\geq 0\) solo se \(x\leq -\sqrt{n^2-4}\) oppure \(x\geq \sqrt{n^2-4}\); dato che \(\sqrt{n^2-4}\to \infty\) crescendo, esiste un \(\nu=\nu (a) \in \mathbb{N}\) tale che \(\sqrt{n^2-4}\leq a\) per ogni \(n\leq \nu\) e \(\sqrt{n^2-4}>a\) per ogni \(n>\nu\); quindi puoi distinguere due casi:
[list=1][*:11slrqaj] \(n\leq \nu\): in tal caso la \(f_n\) è strettamente crescente in \(]-\infty,-\sqrt{n^2-4}]\); prende un massimo relativo in \(-\sqrt{n^2-4}\); è strettamente decrescente in \([-\sqrt{n^2-4},\sqrt{n^2-4}]\); prende un minimo relativo in \(\sqrt{n^2-4}\); è strettamente crescente in \([\sqrt{n^2-4},a]\); prende un massimo relativo in \(a\). Conseguentemente:
\[
M_n(]-\infty ,a]) = \max \left\{ f_n(-\sqrt{n^2-4}), f_n(a)\right\}\; .
\]
[/*:m:11slrqaj]
[*:11slrqaj] \(n>\nu\): in tal caso la \(f_n\) è strettamente crescente in \(]-\infty,-\sqrt{n^2-4}]\); prende un massimo relativo in \(-\sqrt{n^2-4}\); è strettamente decrescente in \([-\sqrt{n^2-4},a]\); prende un minimo relativo in \(a\). Pertanto:
\[
M_n(]-\infty,a]) = f_n(-\sqrt{n^2-4})\; .
\][/*:m:11slrqaj][/list:o:11slrqaj]
Ora, avendo determinato esplicitamente \(M_n(]-\infty, a])\), puoi metterti a fare considerazioni circa il:
\[
\lim_n M_n(]-\infty, a])\; .
\]
Chiaramente, dato che ti interessa passare al limite, poco ti cale di come gli elementi della successione \(M_n(]-\infty, a])\) si comportino per indici \(n\) "piccoli"; in altre parole, nel passaggio al limite, puoi considerare solamente gli \(M_n(]-\infty, a])\) che si ottengono per \(n\) "grande" ed, in particolare, per \(n>\nu\). Quindi:
\[
\lim_n M_n(]-\infty, a]) = \lim_n f_n(-\sqrt{n^2-4}) \; .
\]
Dato che:
\[
\begin{split}
f_n(-\sqrt{n^2-4}) &= \frac{1}{(-\sqrt{n^2-4}+n)^2 +4}\ \exp \left( - \frac{\sqrt{n^2-4}}{n}\right) \\
&= \frac{1}{(-\sqrt{n^2-4}+n)^2 +4}\ \exp \left( - \sqrt{1-\frac{4}{n}}\right) \\
& \sim \frac{1}{4-\frac{2}{n}}\ e^{-1}
\end{split}
\]
si ha:
\[
\lim_n M_n(]-\infty, a]) = \frac{1}{4e}\; .
\]
Dunque la convergenza non è uniforme nemmeno su ogni semiretta del tipo \(]-\infty ,a]\) con \(a\geq 0\).
Guardando bene i conti, puoi ben capire "dove" la convergenza uniforme fallisce.
Infatti, gli estremi superiori \(M_n(]-\infty ,a])\) sono presi, per \(n\) "grandi", in corrispondenza dei punti di massimo relativo \(-\sqrt{n^2-4}\), i quali punti formano una successione divergente negativamente.
Ciò ti fa capire due cose: in primis, che la successione non può convergere uniformemente nemmeno nelle semirette \(]-\infty, a]\) con \(a< 0\), perché gli \(M_n(]-\infty, a])\) per \(n\) "grande" coinciderebbero con quelli precedenti; in secundis -cosa molto più importante- che per guadagnare convergenza uniforme non ti basta eliminare la possibilità di "fuga verso \(+\infty\)" per la variabile \(x\), ma bisogna necessariamente eliminare anche la possibilità di "fuga verso \(-\infty\)".
Per eliminare ogni possibilità di fuga, prendi allora \(X=[a,b]\) con \(a
M_n ([a,b]) := \sup_{x\in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \sup_{a\leq x\leq b} f_n(x)\; .
\]
Lo studio della monotònia fatto poco sopra è ancora valido e dal fatto che \(\pm \sqrt{n^2-4}\to \pm\infty\) trai che esiste un indice \(\nu=\nu(a,b)\in \mathbb{N}\) tale che \(-\sqrt{n^2-4}\nu\), la \(f_n\) è strettamente decrescente in \([a,b]\) e ciò implica immediatamente:
\[
M_n ([a,b]) = f_n(a) = \frac{1}{(a+n)^2 +4}\ \exp \left( \frac{a}{n}\right)
\]
per \(n>\nu\).
Dato che hai sotto mano un'espressione definitivamente valida per \(M_n([a,b])\), puoi discutere il limite:
\[
\lim_n M_n([a,b])\; ;
\]
hai:
\[
\lim_n M_n([a,b]) = \lim_n \frac{1}{(a+n)^2 +4}\ \exp \left( \frac{a}{n}\right) =0\; ,
\]
dunque c'è convergenza uniforme in \([a,b]\) (e finalmente!).
Dalla convergenza uniforme sugli intervalli compatti segue immediatamente che la tua successione di funzioni converge uniformemente in ogni insieme \(X\subset \mathbb{R}\) limitato: infatti, se \(X\) è limitato, esiste un intervallo compatto \([a,b]\) tale che \(X\subseteq [a,b]\) e ciò importa:
\[
0\leq M_n(X)\leq M_n([a,b])\; ,
\]
da cui l'asserita convergenza uniforme in \(X\) via teorema dei carabinieri.
Ricapitolando.
La successione assegnata converge puntualmente alla funzione nulla in tutto \(\mathbb{R}\), ma la convergenza non è uniforme; tuttavia, la convergenza è uniforme su ogni insieme limitato \(X\subset \mathbb{R}\).
Hai:
\[
f_n(x) := \frac{\exp \left( \frac{x}{n}\right)}{(x+n)^2 + 4}\; ,
\]
definite e continue in tutto \(\mathbb{R}\), e vuoi studiarne la convergenza uniforme.
Chiaramente, la successione converge puntualmente in tutto \(\mathbb{R}\) verso la funzione nulla, \(f(x):=0\).
Per studiare la convergenza uniforme devi studiare il comportamento asintotico della successione numerica di termine generale:
\[
M_n := \sup_{x\in \mathbb{R}} \left| f_n(x) - f(x)\right|\; .
\]
Il modo più semplice (concettualmente) di cavarsi d'impaccio è cercare di determinare esplicitamente \(M_n\) con le regole del Calcolo; dato che \(f(x)=0\) e che \(f_n(x)>0\), hai:
\[
M_n = \sup_{x\in \mathbb{R}} \frac{\exp \left( \frac{x}{n}\right)}{(x+n)^2 + 4}\; ;
\]
ma è evidentissimo che \(M_n=+\infty\) per ogni indice \(n\) (perché \(f_n\) diverge positivamente in \(+\infty\)), cosicché la convergenza uniforme in tutto \(\mathbb{R}\) puoi scordartela.
Proviamo a vedere se la successione converge uniformemente in qualche sottoinsieme \(X\) "più piccolo" di tutto \(\mathbb{R}\).
Per fare ciò, dovresti cercare di determinare la quantità:
\[
M_n(X):= \sup_{x\in X} \left| f_n(x) - f(x)\right| = \sup_{x\in X} \frac{\exp \left( \frac{x}{n}\right)}{(x+n)^2 + 4}\; ,
\]
la quale, almeno in linea di principio, può essere calcolata svolgendo lo studio della monotònia di \(f_n\) in \(X\).
Dato che, come osservato sopra, quello che ti "frega" per la convergenza uniforme pare essere il fatto che la variabile \(x\) possa scappare verso \(+\infty\), comincia a guardare quello che succede se scegli \(X=]-\infty, a]\) con \(0\leq a<+\infty\) (in modo da eliminare la possibilità di "fuga verso \(+\infty\)").
Dato che \(f_n\in C^\infty (]-\infty, a[)\), la monotònia può essere studiata guardando il segno della derivata prima, la quale è:
\[
\begin{split}
f_n^\prime (x) &= \exp \left( \frac{x}{n}\right)\ \left( \frac{1}{n\ ((x+n)^2 + 4)} - \frac{2(x+n)}{((x+n)^2+4)^2}\right)\\
&= \frac{\exp \left( \frac{x}{n}\right)}{n\ ((x+n)^2 + 4)^2}\ \left( (x+n)^2 + 4 - 2n(x+n)\right)\\
&= \frac{\exp \left( \frac{x}{n}\right)}{n\ ((x+n)^2 + 4)^2}\ \left( x^2 - (n^2-4)\right)\; ,
\end{split}
\]
ed il suo segno dipende unicamente dal segno del fattore \(x^2 - (n^2-4)\). Chiaramente, per \(n=1,2\), si ha \(f_n^\prime (x)\geq 0\) ovunque, ergo:
\[
\begin{split}
M_1(]-\infty ,a]) &= f_1 (a) = \frac{\exp ( a)}{(a+1)^2 + 4}\\
M_2(]-\infty, a]) &= f_2(a) = \frac{\exp \left( \frac{a}{2}\right)}{(a+2)^2 + 4}\; .
\end{split}
\]
D'altro canto, quando \(n\geq 3\), si ha \(f_n^\prime (x)\geq 0\) solo se \(x\leq -\sqrt{n^2-4}\) oppure \(x\geq \sqrt{n^2-4}\); dato che \(\sqrt{n^2-4}\to \infty\) crescendo, esiste un \(\nu=\nu (a) \in \mathbb{N}\) tale che \(\sqrt{n^2-4}\leq a\) per ogni \(n\leq \nu\) e \(\sqrt{n^2-4}>a\) per ogni \(n>\nu\); quindi puoi distinguere due casi:
[list=1][*:11slrqaj] \(n\leq \nu\): in tal caso la \(f_n\) è strettamente crescente in \(]-\infty,-\sqrt{n^2-4}]\); prende un massimo relativo in \(-\sqrt{n^2-4}\); è strettamente decrescente in \([-\sqrt{n^2-4},\sqrt{n^2-4}]\); prende un minimo relativo in \(\sqrt{n^2-4}\); è strettamente crescente in \([\sqrt{n^2-4},a]\); prende un massimo relativo in \(a\). Conseguentemente:
\[
M_n(]-\infty ,a]) = \max \left\{ f_n(-\sqrt{n^2-4}), f_n(a)\right\}\; .
\]
[/*:m:11slrqaj]
[*:11slrqaj] \(n>\nu\): in tal caso la \(f_n\) è strettamente crescente in \(]-\infty,-\sqrt{n^2-4}]\); prende un massimo relativo in \(-\sqrt{n^2-4}\); è strettamente decrescente in \([-\sqrt{n^2-4},a]\); prende un minimo relativo in \(a\). Pertanto:
\[
M_n(]-\infty,a]) = f_n(-\sqrt{n^2-4})\; .
\][/*:m:11slrqaj][/list:o:11slrqaj]
Ora, avendo determinato esplicitamente \(M_n(]-\infty, a])\), puoi metterti a fare considerazioni circa il:
\[
\lim_n M_n(]-\infty, a])\; .
\]
Chiaramente, dato che ti interessa passare al limite, poco ti cale di come gli elementi della successione \(M_n(]-\infty, a])\) si comportino per indici \(n\) "piccoli"; in altre parole, nel passaggio al limite, puoi considerare solamente gli \(M_n(]-\infty, a])\) che si ottengono per \(n\) "grande" ed, in particolare, per \(n>\nu\). Quindi:
\[
\lim_n M_n(]-\infty, a]) = \lim_n f_n(-\sqrt{n^2-4}) \; .
\]
Dato che:
\[
\begin{split}
f_n(-\sqrt{n^2-4}) &= \frac{1}{(-\sqrt{n^2-4}+n)^2 +4}\ \exp \left( - \frac{\sqrt{n^2-4}}{n}\right) \\
&= \frac{1}{(-\sqrt{n^2-4}+n)^2 +4}\ \exp \left( - \sqrt{1-\frac{4}{n}}\right) \\
& \sim \frac{1}{4-\frac{2}{n}}\ e^{-1}
\end{split}
\]
si ha:
\[
\lim_n M_n(]-\infty, a]) = \frac{1}{4e}\; .
\]
Dunque la convergenza non è uniforme nemmeno su ogni semiretta del tipo \(]-\infty ,a]\) con \(a\geq 0\).
Guardando bene i conti, puoi ben capire "dove" la convergenza uniforme fallisce.
Infatti, gli estremi superiori \(M_n(]-\infty ,a])\) sono presi, per \(n\) "grandi", in corrispondenza dei punti di massimo relativo \(-\sqrt{n^2-4}\), i quali punti formano una successione divergente negativamente.
Ciò ti fa capire due cose: in primis, che la successione non può convergere uniformemente nemmeno nelle semirette \(]-\infty, a]\) con \(a< 0\), perché gli \(M_n(]-\infty, a])\) per \(n\) "grande" coinciderebbero con quelli precedenti; in secundis -cosa molto più importante- che per guadagnare convergenza uniforme non ti basta eliminare la possibilità di "fuga verso \(+\infty\)" per la variabile \(x\), ma bisogna necessariamente eliminare anche la possibilità di "fuga verso \(-\infty\)".
Per eliminare ogni possibilità di fuga, prendi allora \(X=[a,b]\) con \(a
M_n ([a,b]) := \sup_{x\in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \sup_{a\leq x\leq b} f_n(x)\; .
\]
Lo studio della monotònia fatto poco sopra è ancora valido e dal fatto che \(\pm \sqrt{n^2-4}\to \pm\infty\) trai che esiste un indice \(\nu=\nu(a,b)\in \mathbb{N}\) tale che \(-\sqrt{n^2-4}
\[
M_n ([a,b]) = f_n(a) = \frac{1}{(a+n)^2 +4}\ \exp \left( \frac{a}{n}\right)
\]
per \(n>\nu\).
Dato che hai sotto mano un'espressione definitivamente valida per \(M_n([a,b])\), puoi discutere il limite:
\[
\lim_n M_n([a,b])\; ;
\]
hai:
\[
\lim_n M_n([a,b]) = \lim_n \frac{1}{(a+n)^2 +4}\ \exp \left( \frac{a}{n}\right) =0\; ,
\]
dunque c'è convergenza uniforme in \([a,b]\) (e finalmente!).
Dalla convergenza uniforme sugli intervalli compatti segue immediatamente che la tua successione di funzioni converge uniformemente in ogni insieme \(X\subset \mathbb{R}\) limitato: infatti, se \(X\) è limitato, esiste un intervallo compatto \([a,b]\) tale che \(X\subseteq [a,b]\) e ciò importa:
\[
0\leq M_n(X)\leq M_n([a,b])\; ,
\]
da cui l'asserita convergenza uniforme in \(X\) via teorema dei carabinieri.
Ricapitolando.
La successione assegnata converge puntualmente alla funzione nulla in tutto \(\mathbb{R}\), ma la convergenza non è uniforme; tuttavia, la convergenza è uniforme su ogni insieme limitato \(X\subset \mathbb{R}\).
!!!Grazie mille, non c'è cosa peggiore di quando alla fine "vengono" , ma non sei sicuro del perchè.
Adesso ho capito!
Detto questo, il problema di cosa fare nel caso in cui la derivata non sia d'aiuto resta. Se hai voglia dai un'occhiata a:https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=127033
grazie, ciao
Adesso ho capito!
Detto questo, il problema di cosa fare nel caso in cui la derivata non sia d'aiuto resta. Se hai voglia dai un'occhiata a:https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=127033
grazie, ciao
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