Successioni di funzioni e serie
Ho svolto parzialmente due esercizi sulle serie e sulle successioni di funzioni. Riporterò di seguito i rispettivi procedimenti sino al punto di blocco:
la prima consegna chiedeva di provare che la successione:
${(n^2x)/(n^4+x^2)}$ convergesse puntualmente ma non uniformemente e condizione necessaria e sufficiente affinchè la successione converga uniformemente è che X sia limitato. per la convergenza puntuale ho calcolato il lim f per x->+oo è ho trovato 0. per la convergenza uniforme invece ho calcolato la derivata di f(x) e ho trovato che n^2 è il max.
POi ho calcolato la funzione in x_o =n^2 e ho trovato che il sup|f(x)-f(x_o)|=1/2, quindi non essendo infinitesima non è uniformemente convergente. tuttavia non so dimostrare la parte dell'intervallo limitato. qui chiedo illuminazioni.
L'altro esercizio invece chiede di trovare una serie di potenze avente per somma la funzione definita a tratti
$ {(e^(x^2)-1)/x^2$ se x appartiene ad R \{0}
$1$ se x =0.
calcolare la derivata S(100)(0).
la prima parte l'ho svolta riconducendomi allo sviluppo di e^x, poi sostituendo x con x^2 e dividendo per x^2, con x diverso da 0. se x=0 allora la serie è uguale a 1.
adesso però non so come calcolare la derivata. e qui invoco di nuovo il vostro aiuto.
vi ringrazio, alex
p.s. un attimo ne approfitto in questo post, per poter controllare meglio procedimenti e risposte, un altro aiuto. più piccolo in quanto si limita a stabilire il carattere della serie della funzione $arctg(log(n^2+2)x^(n^3))$.
per x=0 ha somma uguale a zero.
per x> 0 è una serie a termini positivi e devo distinguere i casi in cui x sia uguale a 1 (allora somma=1) , >0 ( serie diverge), 0
forza dell'abitudine. correggo.
il testo dell'esercizio indica con S(100)(0) la derivata 100^ma nel punto zero. se non ho capito male ( il testo l'ho ricopiato sul topic)
qualche indizio sul secondo punto te l'avevo dato, a quanto pare però non l'hai accolto.
tu hai una serie di potenze (che io non ho calcolato) diciamo $\sum a_kx^k$ che converge alla tua funzione $f(x)$ ora come dicevo nel post precedente, se hai una serie di potenze che converge ad una funzione essa è la serie di taylor: $\sum (f ^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k$ la tua, per come l'hai costruita è centrata in zero quindi $\sum (f ^((k))(0))/(k!)x^k$. La tua serie e la serie di taylor della funzione sono la stessa serie, hanno quindi tutti i coefficienti uguali, in particolare se prendo k=100 ho che $a_100=(f^((100))(0))/(100!)$ e tu conosci $a_100$.
la prima consegna chiedeva di provare che la successione:
${(n^2x)/(n^4+x^2)}$ convergesse puntualmente ma non uniformemente e condizione necessaria e sufficiente affinchè la successione converga uniformemente è che X sia limitato. per la convergenza puntuale ho calcolato il lim f per x->+oo è ho trovato 0. per la convergenza uniforme invece ho calcolato la derivata di f(x) e ho trovato che n^2 è il max.
POi ho calcolato la funzione in x_o =n^2 e ho trovato che il sup|f(x)-f(x_o)|=1/2, quindi non essendo infinitesima non è uniformemente convergente. tuttavia non so dimostrare la parte dell'intervallo limitato. qui chiedo illuminazioni.
L'altro esercizio invece chiede di trovare una serie di potenze avente per somma la funzione definita a tratti
$ {(e^(x^2)-1)/x^2$ se x appartiene ad R \{0}
$1$ se x =0.
calcolare la derivata S(100)(0).
la prima parte l'ho svolta riconducendomi allo sviluppo di e^x, poi sostituendo x con x^2 e dividendo per x^2, con x diverso da 0. se x=0 allora la serie è uguale a 1.
adesso però non so come calcolare la derivata. e qui invoco di nuovo il vostro aiuto.
vi ringrazio, alex
p.s. un attimo ne approfitto in questo post, per poter controllare meglio procedimenti e risposte, un altro aiuto. più piccolo in quanto si limita a stabilire il carattere della serie della funzione $arctg(log(n^2+2)x^(n^3))$.
per x=0 ha somma uguale a zero.
per x> 0 è una serie a termini positivi e devo distinguere i casi in cui x sia uguale a 1 (allora somma=1) , >0 ( serie diverge), 0
Risposte
scusami, ma la successione non è in funzione di n? ... che c'entra f(x)? ... mi riferisco al primo esercizio...
per la prima domanda in un senso è semplice:
se X è limitato allora $|x|0$ e quindi la successione di funzioni converge uniformemente alla funzione che vale sempre zero, il massimo viene assunto in $n^2$ che se X è limitato per n grande, $n^2$ non sta più in X .
per la seconda domanda: se una serie di potenze converge ad una funzione, allora ne è la serie di taylor nell'intervallo di convergenza le derivate quindi...
per questa seconda non so se ci sono ulteriori ipotesi per applicare questo "criterio" però l'idea dovrebbe giusta.
l'altro senso della 1 per ora non saprei proprio
ciao
se X è limitato allora $|x|
per la seconda domanda: se una serie di potenze converge ad una funzione, allora ne è la serie di taylor nell'intervallo di convergenza le derivate quindi...
per questa seconda non so se ci sono ulteriori ipotesi per applicare questo "criterio" però l'idea dovrebbe giusta.
l'altro senso della 1 per ora non saprei proprio
ciao
"adaBTTLS":
scusami, ma la successione non è in funzione di n? ... che c'entra f(x)? ... mi riferisco al primo esercizio...
forza dell'abitudine. correggo.
ti ringrazio rubik. ciò che ancora resta ignoto è cme determinare laS(100)...mmm
forse non ho ben capito cosa intendi per S(100) se mi spieghi meglio provo ad aiutarti.
"rubik":
forse non ho ben capito cosa intendi per S(100) se mi spieghi meglio provo ad aiutarti.
il testo dell'esercizio indica con S(100)(0) la derivata 100^ma nel punto zero. se non ho capito male ( il testo l'ho ricopiato sul topic)
"rubik":
se una serie di potenze converge ad una funzione, allora ne è la serie di taylor nell'intervallo di convergenza le derivate quindi...
qualche indizio sul secondo punto te l'avevo dato, a quanto pare però non l'hai accolto.
tu hai una serie di potenze (che io non ho calcolato) diciamo $\sum a_kx^k$ che converge alla tua funzione $f(x)$ ora come dicevo nel post precedente, se hai una serie di potenze che converge ad una funzione essa è la serie di taylor: $\sum (f ^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k$ la tua, per come l'hai costruita è centrata in zero quindi $\sum (f ^((k))(0))/(k!)x^k$. La tua serie e la serie di taylor della funzione sono la stessa serie, hanno quindi tutti i coefficienti uguali, in particolare se prendo k=100 ho che $a_100=(f^((100))(0))/(100!)$ e tu conosci $a_100$.
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