Successioni di funzioni e monotonia

[cicalino1]

Buonasera,
Stavo rivedendo la dimostrazione di un teorema, talvolta chiamato Lemma del Dini, riguardante le successioni di funzioni. L'enunciato è:
Se $I=[a,b]$ è un intervallo chiuso e limitato, $(f_k(x))_(k in NN)$ è una successione di funzioni continue, monotona rispetto a $k$, convergente puntualmente in $I$ a una funzione continua $f(x)$, allora $(f_k(x))_(k in NN)$ converge anche uniformemente a $f(x)$.
La dimostrazione è la seguente:
Suppongo la successione di funzioni monotona crescente.
per assurdo, nego l'uniforme convergenza
$AA h in NN$ $EE k_h>h, EE x_h in I$ t.c. $EE ε_0$ per cui
$|f_(k_h)(x_h)-f(x_h)|>= ε_0$ ovvero
$f(x_h)-f_(k_h)(x_h)>= ε_0 $
Per la monotonia, se $k_h>=i, i in NN $ $f_(k_h)(x)>=f_i(x)$, quindi $f(x_h)-f_i(x_h)>= ε_0$ $ AA i<=k_h$, $AA h in NN$.
La successione numerica $(x_h)_(h in NN)$, essendo limitata, per il teorema di Bolzano-Weierstrass ammette una estratta $(x_(h_j))$ convergente a un certo $x_0 in I$.
Dal momento che
$f(x_(h_j))-f_i(x_(h_j))>=ε_0$, se mando $j to oo$, per la continuità di $f$ e $f_k$ ottengo
$f(x_0)-f_i(x_0)>= ε_0$. Se adesso mando $i to oo$ ottengo
$f(x_0)-f(x_0) = 0 >= ε_0$ che è un assurdo.

Ebbene io non ho ben capito alcuni passaggi (quasi tutti, a dire il vero). In primis, non mi è chiaro come viene sfruttata la monotonia della successione, a cosa è servito asserire che $f(x_h)-f_i(x_h)>= ε_0$, $ AA i<=k_h$, $AA h in NN$.
Neanche il passaggio in cui si asserisce che $(x_h)_(h in NN)$ è una successione di numeri reali mi è molto chiaro..
Il fatto è che mi chiedo perché non bastasse mandare h all'infinito sin da subito per arrivare alla conclusione. Qualcuno può darmi delle delucidazioni?
Grazie in anticipo.