Successioni di funzioni - dubbio teorico con esercizio
Ciao a tutti!
Ho ripreso in mano dopo tanto tempo le successioni di funzioni e mi ritrovo con parecchie difficoltà nell'affrontare gli esercizi, dunque sono alla ricerca di un aiuto ai fini di sciogliere qualche dubbio.
Innanzitutto ho una domanda di base:
1°) Riporto fedelmente un asserto trovato su un manuale abbastanza noto:
La mia domanda è questa: è davvero necessario che le funzioni siano limitate affinché si possa procedere nello studiare la convergenza uniforme mediante il \(\displaystyle sup \)? Su tutti gli altri manuali che ho consultato questa ipotesi non è specificata.
2°) Venendo all'esercizio che mi sta creando difficoltà
ho provato a risolvere come riportato qui sotto.
Innanzitutto ho immaginato che l'esercizio presupponesse di risolvere per \(\displaystyle x \in \mathbb{R} \), non fornendo un intervallo specifico.
La convergenza puntuale, correggetemi se sbaglio, è banalmente verso la funzione \(\displaystyle f(x)=x \), \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \).
Per la convergenza uniforme, supponendo sia vero l'asserto riportato al punto 1°), non essendo limitata la funzione limite \(\displaystyle f(x)=x \), ho evitato di percorrere la strada del \(\displaystyle sup \).
Tuttavia, sapendo che (oltre alla ben nota continuità) tra le altre proprietà che vengono preservate in convergenza uniforme, c'è anche la limitatezza, ho concluso che non può esserci convergenza uniforme su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \), in quanto le \(\displaystyle f_n \) sono limitate mentre la \(\displaystyle f \) no.
Spero fino a qui tutto sia corretto.
Tipicamente poi, gli esercizi di cui ho studiato la risoluzione fornita, riportano tipologie di intervalli di \(\displaystyle \mathbb{R} \) in cui è possibile avere la convergenza uniforme, ma qui non riesco ad esibire tali intervalli (supponendo vi siano).
Qualcuno è in grado di aiutarmi in tal senso?
Grazie mille in anticipo!
Ho ripreso in mano dopo tanto tempo le successioni di funzioni e mi ritrovo con parecchie difficoltà nell'affrontare gli esercizi, dunque sono alla ricerca di un aiuto ai fini di sciogliere qualche dubbio.
Innanzitutto ho una domanda di base:
1°) Riporto fedelmente un asserto trovato su un manuale abbastanza noto:
Se le funzioni \(\displaystyle f_n \), \(\displaystyle f \) sono limitate in \(\displaystyle I \), allora \(\displaystyle (f_n) \) converge uniformemente verso \(\displaystyle f \) in \(\displaystyle I \) se e solo se, posto \(\displaystyle M_n = sup\{|f_n(x)-f(x)| : x \in I\} \), risulta \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} M_n = 0 \)
La mia domanda è questa: è davvero necessario che le funzioni siano limitate affinché si possa procedere nello studiare la convergenza uniforme mediante il \(\displaystyle sup \)? Su tutti gli altri manuali che ho consultato questa ipotesi non è specificata.
2°) Venendo all'esercizio che mi sta creando difficoltà
1. Discutere le convergenza puntuale e dire in che intervalli si ha convergenza uniforme di \[ f_n(x)=\frac{nx+2}{n+x^2} \]
ho provato a risolvere come riportato qui sotto.
Innanzitutto ho immaginato che l'esercizio presupponesse di risolvere per \(\displaystyle x \in \mathbb{R} \), non fornendo un intervallo specifico.
La convergenza puntuale, correggetemi se sbaglio, è banalmente verso la funzione \(\displaystyle f(x)=x \), \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \).
Per la convergenza uniforme, supponendo sia vero l'asserto riportato al punto 1°), non essendo limitata la funzione limite \(\displaystyle f(x)=x \), ho evitato di percorrere la strada del \(\displaystyle sup \).
Tuttavia, sapendo che (oltre alla ben nota continuità) tra le altre proprietà che vengono preservate in convergenza uniforme, c'è anche la limitatezza, ho concluso che non può esserci convergenza uniforme su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \), in quanto le \(\displaystyle f_n \) sono limitate mentre la \(\displaystyle f \) no.
Spero fino a qui tutto sia corretto.
Tipicamente poi, gli esercizi di cui ho studiato la risoluzione fornita, riportano tipologie di intervalli di \(\displaystyle \mathbb{R} \) in cui è possibile avere la convergenza uniforme, ma qui non riesco ad esibire tali intervalli (supponendo vi siano).
Qualcuno è in grado di aiutarmi in tal senso?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
(1) No, non è necessario. Basta che $M_n \to 0$ per $n \to +\infty$. Per curiosità, che testo è?
(2) Il tuo ragionamento è corretto. Su ogni limitato contenuto in $\mathbb{R}$ hai limitatezza di $f$, quindi lì il ragionamento non si può riciclare. Tuttavia, nota che se $I$ è un intervallo limitato arbitrario esistono $\text{sup} \ I \in \mathbb{R}$ e $\text{inf} \ I \in \mathbb{R}$; quindi, puoi stimare $|f_n(x)-f(x)|$. Provaci, se non ci riesci (o se vuoi conferma del tuo operato) scrivi pure qui e lo rivediamo insieme.
(2) Il tuo ragionamento è corretto. Su ogni limitato contenuto in $\mathbb{R}$ hai limitatezza di $f$, quindi lì il ragionamento non si può riciclare. Tuttavia, nota che se $I$ è un intervallo limitato arbitrario esistono $\text{sup} \ I \in \mathbb{R}$ e $\text{inf} \ I \in \mathbb{R}$; quindi, puoi stimare $|f_n(x)-f(x)|$. Provaci, se non ci riesci (o se vuoi conferma del tuo operato) scrivi pure qui e lo rivediamo insieme.
Innanzitutto grazie infinite della pronta risposta e della conferma circa il punto 1°) che mi stava destabilizzando.
Il manuale da cui è tratto l'asserto è: Paolo Marcellini - Carlo Sbordone - Esercitazioni di Matematica 2° Volume parte prima, te ne riporto anche uno screen:
In effetti ero alla ricerca di un eserciziario con svolgimenti per capirci di più, ma quell'asserto mi ha oltremodo confuso (d'altronde su altri manuali come il Giusti, il Pagani-Salsa, il Bertsch-Dal Passo, ecc. non avevo trovato alcun riscontro sulla necessità della limitatezza).
Per quanto concerne l'esercizio, anche io stavo pensando di approcciare agli intervalli della forma \(\displaystyle [\alpha, \beta] \) con \(\displaystyle \alpha, \beta \in \mathbb{R} \), però mi ero bloccato. Provo a ripercorrere tale strada anche alla luce del tuo prezioso suggerimento e ti faccio sapere.
Di nuovo grazie molte!
Il manuale da cui è tratto l'asserto è: Paolo Marcellini - Carlo Sbordone - Esercitazioni di Matematica 2° Volume parte prima, te ne riporto anche uno screen:
In effetti ero alla ricerca di un eserciziario con svolgimenti per capirci di più, ma quell'asserto mi ha oltremodo confuso (d'altronde su altri manuali come il Giusti, il Pagani-Salsa, il Bertsch-Dal Passo, ecc. non avevo trovato alcun riscontro sulla necessità della limitatezza).
Per quanto concerne l'esercizio, anche io stavo pensando di approcciare agli intervalli della forma \(\displaystyle [\alpha, \beta] \) con \(\displaystyle \alpha, \beta \in \mathbb{R} \), però mi ero bloccato. Provo a ripercorrere tale strada anche alla luce del tuo prezioso suggerimento e ti faccio sapere.
Di nuovo grazie molte!
Prego! Occhio che gli intervalli limitati di $\mathbb{R}$ non sono necessariamente chiusi. Anche insiemi della forma $[\alpha,\beta)$, $(\alpha,\beta]$ o $(\alpha,\beta)$ sono intervalli limitati di $\mathbb{R}$ in cui potrebbe esserci convergenza uniforme.
Ci sono anche altre strade, forse un po' più semplici. Ad esempio, dato che le $f_n$ sono derivabili per ogni $x\in\mathbb{R}$ e per ogni $n \in \mathbb{N}$ potresti calcolare la derivata $f_n'$ per stabilire la monotonia e, eventualmente, se esistono punti di massimo. Però è anche importante saper lavorare con le disuguaglianze (e, a volte, è molto meno faticoso e molto più didattico rispetto a calcolare una derivata).
Ci sono anche altre strade, forse un po' più semplici. Ad esempio, dato che le $f_n$ sono derivabili per ogni $x\in\mathbb{R}$ e per ogni $n \in \mathbb{N}$ potresti calcolare la derivata $f_n'$ per stabilire la monotonia e, eventualmente, se esistono punti di massimo. Però è anche importante saper lavorare con le disuguaglianze (e, a volte, è molto meno faticoso e molto più didattico rispetto a calcolare una derivata).
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