Successioni di funzioni: derivata di x^n
Salve a tutti: studiando le successioni di funzione e in particolare il teorema dello scambio della derivata con la successione ho provato a farmi questo esempio:
Considero la successione di funzioni: $ f_n(x)=x^n $ con $ f-> [0,1]-> R $ per ogni $n$.
Ora $f_n$ è $C^1$ su $[0,1]$ per ogni $n$, $f_n$ converge puntualmente ad $f$ con $f->[0,1]->R$ definita come segue:
L'ultima ipotesi è che la successione degli $f'_n(x)$ converga uniformemente su ogni compatto $J sub [0,1]$.
Ora, $f'_n(x)=nx^(n-1)$ converge puntualmente alla stessa f di prima e converge uniformemente su ogni compatto $sub [0,1]$..
Allora per il teorema dello scambio della derivata con la successione si dovrebbe avere che f è addirittura di classe $C^1$ su $[0,1]$ ! Ma non è neanche di classe $C$! Mi sfugge qualcosa?
Considero la successione di funzioni: $ f_n(x)=x^n $ con $ f-> [0,1]-> R $ per ogni $n$.
Ora $f_n$ è $C^1$ su $[0,1]$ per ogni $n$, $f_n$ converge puntualmente ad $f$ con $f->[0,1]->R$ definita come segue:
$f(x) = 0 $ se $ x in [0,1[$
$f(x) = 1 $ se $ x = 1 $
L'ultima ipotesi è che la successione degli $f'_n(x)$ converga uniformemente su ogni compatto $J sub [0,1]$.
Ora, $f'_n(x)=nx^(n-1)$ converge puntualmente alla stessa f di prima e converge uniformemente su ogni compatto $sub [0,1]$..
Allora per il teorema dello scambio della derivata con la successione si dovrebbe avere che f è addirittura di classe $C^1$ su $[0,1]$ ! Ma non è neanche di classe $C$! Mi sfugge qualcosa?
Risposte
Infatti tutto va bene se ambienti il tuo problema nell'intervallo $[0, 1)$. E' per $x=1$ che hai problemi. (Addirittura, per $x=1$ si ha $f_n'(1)\to \infty$).
Chiaramente la convergenza uniforme sui compatti contenuti in $[0, 1)$ non ti dà nessuna informazione su $x=1$. Quindi non c'è contraddizione con il teorema di scambio limite-derivata che citi.
Chiaramente la convergenza uniforme sui compatti contenuti in $[0, 1)$ non ti dà nessuna informazione su $x=1$. Quindi non c'è contraddizione con il teorema di scambio limite-derivata che citi.
"dissonance":
Infatti tutto va bene se ambienti il tuo problema nell'intervallo $[0, 1)$. E' per $x=1$ che hai problemi. (Addirittura, per $x=1$ si ha $f_n'(1)\to \infty$).
Chiaramente la convergenza uniforme sui compatti contenuti in $[0, 1)$ non ti dà nessuna informazione su $x=1$. Quindi non c'è contraddizione con il teorema di scambio limite-derivata che citi.
Ok, finche sto su $[0,1)$ non ho problemi..
Quello però di cui mi stavo interessando era quando l'intervallo fosse $[0,1]$. Quando $f_n(x)$ è definita su tale intervallo allora si verificano tutte le ipotesi del teorema dello scambio della derivata con la successione, come ho scritto nel primo messaggio, però a quel punto giungo ad una contraddizione, allora mi chiedevo, dato che il teorema è dimostrato, cosa mi fossi perso per strada..
Ahhhhh no, forse ho capito! L'ultima condizione richiede che i compatti $J$ non siano solo $ sub [0,1]$ ma che siano $ sube [0,1]$ e quindi chiaramente per $J=[0,1] $che è $sube [0,1]$ non c'è convergenza uniforme! Forse era questo che mi ero perso, giusto?
Eh già
"dissonance":
Eh già
Perfetto, grazie mille
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