Successioni di funzioni. Convergenze. [+ casi ed esercizi]
Salve, mi trovo ad affrontare l'argomento delle successioni di funzioni. I dubbi mi perseguitano e non riesco a venirne a capo con i soli libri. Ho letto diverse discussioni, ma non riesco a relazionare le risposte date nei precedenti thread, ai miei dubbi. Vengo al dunque scrivendo quello che so e facendo qualche domanda specifica.
Nel calcolo della convergenza puntuale delle serie di funzioni, fissato \( x \) $in$\( I \) con \( I \) intervallo in cui analizzare la convergenza, calcolo semplicemente il $lim_(n->infty)f_n(x)$.
Negli intervalli in cui ho convergenza puntuale cerco la convergenza uniforme. E qui nascono i problemi.
La teoria afferma che ho convergenza uniforme se:
$lim_(n->infty) \text{sup}_{x in I} |f_(x)-f(x)|=0 $
cioè con un certo indice \( n \) fissato, studio la funzione \( f_n(x) \)
Passo ad un esempio pratico. Calcolo la convergenza in $I in [-1,1 ]$ di $ f_n(x)= (x)/(1+n^2 x^2)$
Dovrei avere (e qui nascono i primi dubbi) convergenza puntuale alla funzione identicamente nulla $f(x)=0$ , $ \forall x in I $
Convergenza uniforme. Calcolo la monotonia derivando rispetto ad $x$ la $f_n(x)$ e ora e trovo:
$(1-n^2x^2)/(1+n^2x^2)^2$ che si annulla in $x=\pm (1)/(n)$ cioè $f_n((1)/(n))=(1)/(2n)$
Se calcolo $lim_(n->infty) (1)/(2n)=0 $ da qui mi verrebbe da dire che c'è convergenza uniforme, ma cosa c'entra con questa teoria cioè:
-visto il teorema di Weierstrass (funzione monotona $+$ intervallo chiuso e limitato $rArr$ ho sicuramente un massimo )
-il $\text{sup}_{x in I} |f_n(x)-f(x)| = \text{max}_{x in I} |f_n(x)-f(x)|$
che in questo caso diventa utilizzando l'estremo superiore dell'intervallo:
-il $\text{sup}_{x in I} |f_n(x)-f(x)| =\text{max}_{x in [-1,1]} |f_n(1)-0|$
$ =\text{max}_{x in I} |f_n(1)-0| =(1)/(1+n^2)$
Calcolo il $lim_(n->infty) (1)/(1+n^2)$ che tende a zero, ed ho quindi convergenza uniforme nell'intervallo.
Io non riesco a definire quale sia l'errore concettuale che mi porta a dare due conclusioni sulla convergenza uniforme. Da una parte la seconda è la più precisa, ma da un altra, non mi permette facilmente di arrivare alla soluzione di altri esercizi.
_______________________________________________________________________________________
Ora rifacendo la stessa procedura nel caso: $(nx)/(1+n^2 x^2)$ con stesso intervallo $I in [-1,1]$
calcolo la convergenza puntuale che è identicamente nulla in tutto $I$ e successivamente nel calcolo della convergenza uniforme seguendo la stessa procedura ho:
$f^{\prime}_n(x)= (n-n^3 x^3)/(1+n^2x^2)^2$ con massimo $x =(1)/(n)$
Se prendo la prima via, trovo che $f_n((1)/(n)) = 1/2$ quindi il limite calcolato a questo punto non tende a zero e non ho convergenza uniforme.
Se utilizzo la via ""teorica"" (M-test, o criterio di Weierstrass) mi trovo a sostituire l'estremo superiore dell'intervallo nel calcolo di:
$\text{sup}_{x in I} |f_n(x)-f(x)| = \text{max}_{x in I} |f_n(1)-0|$ $= \text{max}_{x in I} |(n)/(1+n^2)-0|$
Calcolo il $lim_(n->infty) (n)/(1+n^2)=0$. E direi che ho convergenza uniforme, SBAGLIANDO sonoramente. Perché?
Scusatemi per la lunghezza del post, ci tengo a capire questo argomento.
Nel calcolo della convergenza puntuale delle serie di funzioni, fissato \( x \) $in$\( I \) con \( I \) intervallo in cui analizzare la convergenza, calcolo semplicemente il $lim_(n->infty)f_n(x)$.
Negli intervalli in cui ho convergenza puntuale cerco la convergenza uniforme. E qui nascono i problemi.
La teoria afferma che ho convergenza uniforme se:
$lim_(n->infty) \text{sup}_{x in I} |f_(x)-f(x)|=0 $
cioè con un certo indice \( n \) fissato, studio la funzione \( f_n(x) \)
Passo ad un esempio pratico. Calcolo la convergenza in $I in [-1,1 ]$ di $ f_n(x)= (x)/(1+n^2 x^2)$
Dovrei avere (e qui nascono i primi dubbi) convergenza puntuale alla funzione identicamente nulla $f(x)=0$ , $ \forall x in I $
Convergenza uniforme. Calcolo la monotonia derivando rispetto ad $x$ la $f_n(x)$ e ora e trovo:
$(1-n^2x^2)/(1+n^2x^2)^2$ che si annulla in $x=\pm (1)/(n)$ cioè $f_n((1)/(n))=(1)/(2n)$
Se calcolo $lim_(n->infty) (1)/(2n)=0 $ da qui mi verrebbe da dire che c'è convergenza uniforme, ma cosa c'entra con questa teoria cioè:
-visto il teorema di Weierstrass (funzione monotona $+$ intervallo chiuso e limitato $rArr$ ho sicuramente un massimo )
-il $\text{sup}_{x in I} |f_n(x)-f(x)| = \text{max}_{x in I} |f_n(x)-f(x)|$
che in questo caso diventa utilizzando l'estremo superiore dell'intervallo:
-il $\text{sup}_{x in I} |f_n(x)-f(x)| =\text{max}_{x in [-1,1]} |f_n(1)-0|$
$ =\text{max}_{x in I} |f_n(1)-0| =(1)/(1+n^2)$
Calcolo il $lim_(n->infty) (1)/(1+n^2)$ che tende a zero, ed ho quindi convergenza uniforme nell'intervallo.
Io non riesco a definire quale sia l'errore concettuale che mi porta a dare due conclusioni sulla convergenza uniforme. Da una parte la seconda è la più precisa, ma da un altra, non mi permette facilmente di arrivare alla soluzione di altri esercizi.
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Ora rifacendo la stessa procedura nel caso: $(nx)/(1+n^2 x^2)$ con stesso intervallo $I in [-1,1]$
calcolo la convergenza puntuale che è identicamente nulla in tutto $I$ e successivamente nel calcolo della convergenza uniforme seguendo la stessa procedura ho:
$f^{\prime}_n(x)= (n-n^3 x^3)/(1+n^2x^2)^2$ con massimo $x =(1)/(n)$
Se prendo la prima via, trovo che $f_n((1)/(n)) = 1/2$ quindi il limite calcolato a questo punto non tende a zero e non ho convergenza uniforme.
Se utilizzo la via ""teorica"" (M-test, o criterio di Weierstrass) mi trovo a sostituire l'estremo superiore dell'intervallo nel calcolo di:
$\text{sup}_{x in I} |f_n(x)-f(x)| = \text{max}_{x in I} |f_n(1)-0|$ $= \text{max}_{x in I} |(n)/(1+n^2)-0|$
Calcolo il $lim_(n->infty) (n)/(1+n^2)=0$. E direi che ho convergenza uniforme, SBAGLIANDO sonoramente. Perché?
Scusatemi per la lunghezza del post, ci tengo a capire questo argomento.
Risposte
Salve,
non è vero che il massimo è realizzato per $x=1$ come lo mostrano i tuoi calcoli. Dunque le uguaglianze $\max_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|=|f_n(1)|$ non è vera.
non è vero che il massimo è realizzato per $x=1$ come lo mostrano i tuoi calcoli. Dunque le uguaglianze $\max_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|=|f_n(1)|$ non è vera.
In entrambi i casi hai convergenza uniforme.
Il "giochino" da fare, in modo che il tutto abbia anche senso "intuitivo" è di pensare al discorso degli $\epsilon$ e dei $\delta$.
In pratica è così: fissato un $\epsilon$ piccolo a piacere, determini un $\delta$ t.c. $\forall n>\delta, |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$
Ora il punto è: riesci a fare in modo che $\delta$ NON sia funzione di $x$ ? Se ci riesci, la convergenza è uniforme.
Il gioco è riucire a scrivere un'espressione di $\delta$ che non contenga $x$, ma solo $n$ ovviamente.
Nel tuo caso: la funzione è continua, per Weierstrass i max/min ce li hai o agli estremi dell'intervallo o dove $f'=0$
i max/min li hai già calcolati bene e sono in $x=1/n$ e la funzione vale $1/(1+n)$
Negli estremi la funzione vale $-n/(1+n^2)$ e $n/(1+n^2)$
A questo punto vedi che già le x sono sparite. Se ti chiedo per $\epsilon=10^(-10)$ quanto deve essere n, secondo me riesci a calcolarlo.
Lo fai separatamente per le tre espressioni (agli estremi e nel max/min) e dichiari che prendi il minore dei tre.
Così dimostri la convergenza uniforme.
Il "giochino" da fare, in modo che il tutto abbia anche senso "intuitivo" è di pensare al discorso degli $\epsilon$ e dei $\delta$.
In pratica è così: fissato un $\epsilon$ piccolo a piacere, determini un $\delta$ t.c. $\forall n>\delta, |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$
Ora il punto è: riesci a fare in modo che $\delta$ NON sia funzione di $x$ ? Se ci riesci, la convergenza è uniforme.
Il gioco è riucire a scrivere un'espressione di $\delta$ che non contenga $x$, ma solo $n$ ovviamente.
Nel tuo caso: la funzione è continua, per Weierstrass i max/min ce li hai o agli estremi dell'intervallo o dove $f'=0$
i max/min li hai già calcolati bene e sono in $x=1/n$ e la funzione vale $1/(1+n)$
Negli estremi la funzione vale $-n/(1+n^2)$ e $n/(1+n^2)$
A questo punto vedi che già le x sono sparite. Se ti chiedo per $\epsilon=10^(-10)$ quanto deve essere n, secondo me riesci a calcolarlo.
Lo fai separatamente per le tre espressioni (agli estremi e nel max/min) e dichiari che prendi il minore dei tre.
Così dimostri la convergenza uniforme.
Inizio ringraziandovi subito per l'interessamento e le risposte. 
Nel primo esercizio o nel secondo?
In una funzione monotona crescente in un intervallo $I$, la funzione non ha massimo in corrispondenza dell'estremo superiore di $I$?
Ma nel marcellini-sbordone (secondo volume di esercizi), 1.11 come soluzione del secondo esercizio mi da che la convergenza non è uniforme
cito: Esendo $f_n((1)/(n))=(1)/(2)$ perché $ x=(1)/(n)$ è punto di massimo per $f_n$ , la convergenza NON è uniforme.
"girdav":
Salve,
non è vero che il massimo è realizzato per $x=1$ come lo mostrano i tuoi calcoli. Dunque le uguaglianze $\max_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|=|f_n(1)|$ non è vera.
Nel primo esercizio o nel secondo?
In una funzione monotona crescente in un intervallo $I$, la funzione non ha massimo in corrispondenza dell'estremo superiore di $I$?
"Quinzio":Grazie, sto iniziando a capire il tipo di ragionamento.
In entrambi i casi hai convergenza uniforme.
Il "giochino" da fare, in modo che il tutto abbia anche senso "intuitivo" è di pensare al discorso degli $\epsilon$ e dei $\delta$.
In pratica è così: fissato un $\epsilon$ piccolo a piacere, determini un $\delta$ t.c. $\forall n>\delta, |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$
Ora il punto è: riesci a fare in modo che $\delta$ NON sia funzione di $x$ ? Se ci riesci, la convergenza è uniforme.
Il gioco è riucire a scrivere un'espressione di $\delta$ che non contenga $x$, ma solo $n$ ovviamente.
Nel tuo caso: la funzione è continua, per Weierstrass i max/min ce li hai o agli estremi dell'intervallo o dove $f'=0$
i max/min li hai già calcolati bene e sono in $x=1/n$ e la funzione vale $1/(1+n)$
Negli estremi la funzione vale $-n/(1+n^2)$ e $n/(1+n^2)$
A questo punto vedi che già le x sono sparite. Se ti chiedo per $\epsilon=10^(-10)$ quanto deve essere n, secondo me riesci a calcolarlo.
Lo fai separatamente per le tre espressioni (agli estremi e nel max/min) e dichiari che prendi il minore dei tre.
Così dimostri la convergenza uniforme.
Ma nel marcellini-sbordone (secondo volume di esercizi), 1.11 come soluzione del secondo esercizio mi da che la convergenza non è uniforme
cito: Esendo $f_n((1)/(n))=(1)/(2)$ perché $ x=(1)/(n)$ è punto di massimo per $f_n$ , la convergenza NON è uniforme.
Mi trovo ancora con dei problemi su alcuni esercizi, e prima di passare a nuovi argomenti è meglio chiarire i dubbi.
Ho questa successione:
$f_n= ((n^2)-(x^2))/(((n^2)-(x^2))+1) $
di cui devo studiare la convergenza in tutto $RR$
Vado a calcolare la convergenza puntuale per un certo $ \bar{x} $ fissato.
E trovo (correggetemi se sbaglio)
$\lim_{n \to \infty}f_n(\bar{x})=1$ CONVERGENZA PUNTUALE $ f_n -> f(x)=1$ $AA x in RR $
Per studiare la convergenza uniforme, andrei a calcolare con la solita formula il $\lim_{n \to \infty} \text{sup}_{x in RR} |f_n - f|$
Come ricerco quindi questo $ \text{sup}_{x in RR} |f_n - f|$ perché se calcolo la derivata e analizzo i punti di massimo, trovo solo che $x=0$ è punto di minimo per la successione. Provando a forzare il calcolo e sostituendo alla successione questo valore mi trovo a calcolare il $\lim_{n \to \infty} 1/(1+(1/(n^4)))=1 $ e quindi non ci sarebbe convergenza uniforme mentre ho tracciato i grafici sino ad $n=4$ e si vede chiaramente che la convergenza è uniforme in tutto $RR$ (come oltretutto garantisce il risultato del libro).
Ho questa successione:
$f_n= ((n^2)-(x^2))/(((n^2)-(x^2))+1) $
di cui devo studiare la convergenza in tutto $RR$
Vado a calcolare la convergenza puntuale per un certo $ \bar{x} $ fissato.
E trovo (correggetemi se sbaglio)
$\lim_{n \to \infty}f_n(\bar{x})=1$ CONVERGENZA PUNTUALE $ f_n -> f(x)=1$ $AA x in RR $
Per studiare la convergenza uniforme, andrei a calcolare con la solita formula il $\lim_{n \to \infty} \text{sup}_{x in RR} |f_n - f|$
Come ricerco quindi questo $ \text{sup}_{x in RR} |f_n - f|$ perché se calcolo la derivata e analizzo i punti di massimo, trovo solo che $x=0$ è punto di minimo per la successione. Provando a forzare il calcolo e sostituendo alla successione questo valore mi trovo a calcolare il $\lim_{n \to \infty} 1/(1+(1/(n^4)))=1 $ e quindi non ci sarebbe convergenza uniforme mentre ho tracciato i grafici sino ad $n=4$ e si vede chiaramente che la convergenza è uniforme in tutto $RR$ (come oltretutto garantisce il risultato del libro).
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