Successioni di funzioni, convergenza uniforme.
Salve a tutti,
Ho il seguente esecizio, vorrei capire se l'ho svolto correttamente.
Studiare nell'intervallo $I =[1,infty)$ la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni:
$(nx)/(1+n^2x^n)$
Verificando il limite puntuale trovo che la successione converge a $0$ in $I$. Per quanto riguarda la convergenza uniforme noto che la funzione è continua in $I$, effettuo la derivata prima, ma questa non si annulla. Allora mi sono calcolato il valore della funzione per gli estremi $1$ e $infty$ ed ho notato che calcolando poi il valore del limite della successione di $n to\infty$ ottengo comunque $0$. Per cui ho concluso che in $I$ la successione converge sia puntualmente che uniformemente.
Pareri?
Grazie.
Ho il seguente esecizio, vorrei capire se l'ho svolto correttamente.
Studiare nell'intervallo $I =[1,infty)$ la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni:
$(nx)/(1+n^2x^n)$
Verificando il limite puntuale trovo che la successione converge a $0$ in $I$. Per quanto riguarda la convergenza uniforme noto che la funzione è continua in $I$, effettuo la derivata prima, ma questa non si annulla. Allora mi sono calcolato il valore della funzione per gli estremi $1$ e $infty$ ed ho notato che calcolando poi il valore del limite della successione di $n to\infty$ ottengo comunque $0$. Per cui ho concluso che in $I$ la successione converge sia puntualmente che uniformemente.
Pareri?
Grazie.
Risposte
In generale tu devi minorarla con qualcosa, e quindi molto spesso non ti basta calcolarla agli estremi, ma calcolarti proprio il sup della funzione!
"Mrhaha":
In generale tu devi minorarla con qualcosa, e quindi molto spesso non ti basta calcolarla agli estremi, ma calcolarti proprio il sup della funzione!
si ma per trovarmi il Sup, ho effettuato la procedura classica della derivata essendo anche continua, tuttavia la derivata non si annulla, pertanto non mi resta che vedere cosa fa la funzione agli estremi e calcolarmi in quei punti il limite della successione. La funzione è monotona decrescente.
Non conosco altre vie.
Di solito per svolgere questo tipo di esercizi bisogna usare, almeno per quanto riguardo la convergenza uniforme, la proposizione: $f_n->^(u)f <=>lim_(n->+oo)$sup$|f_n-f|=0$. E' abbastanza semplice da fare, basta che fissi $n in NN$ e fai variare $x in [1,+oo)$, e studi la derivata prima della successione di funzioni, cioè $f'_n(x)$. Sfruttando la definizione di estremo superiore e di massimo (vedi Analisi I) arrivi a trovare proprio sup$|f_n(x)|$. Posta il procedimento se hai difficoltà!
Volevo chiedere però una cosa: ma al denominatore c'è $1+n^2x^n$?
"emanuele78":
Pareri?
Puoi anche osservare che $x/(1+n^2 x^n) < x/(n^2 x^n) = 1/(n^2 x^{n-1}) \le 1/(n^2) $ per n>1. questo va a zero di sicuro
"Lorin":
Volevo chiedere però una cosa: ma al denominatore c'è $1+n^2x^n$?
Rispondo subito a questa domanda, si è quella l'espressione.
Rifletto sulle altre cose.
Grazie a tutti
Facciamo alcuni calcoli
Consideriamo:
$M_n =$ $sup$ ${|f_n(x)-f(x)|: x in [1, infty)}$ $=$ $max{f_n(x) : x in [1,infty)}$, fissato $n$ il massimo assoluto di $f_n(x)$ si determina nell'intervallo $[1,infty)$, scegliendo il valore più grande tra $f_n(1)$, $f_n(infty)$, $f_n(x)$ per $x$ |$f'_n(x) =0$. La derivata prima vale:
$n(1+n^2x^n-n^3x^n)/(1+n^2x^n)$ che si annulla per $x = (1/(n^2(1-n)))^(1/n)$
Pertanto ci calcoliamo il valore della funzione in $x= (1/(n^2(1-n)))^(1/n)$, che dovrebbe essere $f_n((1/(n^2(1-n)))^(1/n))$ $=$ $(n*(n^2(n-1))^-n/(1+(n-1)^-1))$ che converge a $0$ per $n to \infty$
D'altra parte facendo alcune ipotesi su $n$ si ha:
$x/(1+x)<2x/(1+2x^2)<3x/(1+3x^3)$ si vede subito che la successione converge a $0$ per $x in [1,infty)$ a $0$, l'unica cosa su cui vorrei avere certezza e se formalmente ho scritto correttamente.
Grazie.
Consideriamo:
$M_n =$ $sup$ ${|f_n(x)-f(x)|: x in [1, infty)}$ $=$ $max{f_n(x) : x in [1,infty)}$, fissato $n$ il massimo assoluto di $f_n(x)$ si determina nell'intervallo $[1,infty)$, scegliendo il valore più grande tra $f_n(1)$, $f_n(infty)$, $f_n(x)$ per $x$ |$f'_n(x) =0$. La derivata prima vale:
$n(1+n^2x^n-n^3x^n)/(1+n^2x^n)$ che si annulla per $x = (1/(n^2(1-n)))^(1/n)$
Pertanto ci calcoliamo il valore della funzione in $x= (1/(n^2(1-n)))^(1/n)$, che dovrebbe essere $f_n((1/(n^2(1-n)))^(1/n))$ $=$ $(n*(n^2(n-1))^-n/(1+(n-1)^-1))$ che converge a $0$ per $n to \infty$
D'altra parte facendo alcune ipotesi su $n$ si ha:
$x/(1+x)<2x/(1+2x^2)<3x/(1+3x^3)$ si vede subito che la successione converge a $0$ per $x in [1,infty)$ a $0$, l'unica cosa su cui vorrei avere certezza e se formalmente ho scritto correttamente.
Grazie.
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