Successioni di funzioni

Lorin1
Anche qui, come in altri topic, vorrei sapere se lo svolgimento è corretto.
1) Mostrare che la successione di funzioni $f_n(x)=(nx)/(1+n^2x^2) , x in RR$, converge puntualmente su tutto $RR$. Stabilire se la convergenza è uniforme in $RR$ e in $[1+oo)$.

Svolgimento:
Per la convergenza puntuale basta risolvere il limite, quindi $lim_(n->+oo)f_n(x)=0$, e possiamo dire che la successione converge puntualmente a 0 su tutto $RR$. Vediamo se la convergenza è uniforme. Studiamo: $lim_(n->+oo)$sup$|f_n(x)|$ (come si fa il simbolo di estremo superiore? O.o). Per i nostri fini ho studiato $f'_n(x)$ e trovato che $|f_n(x)|<=1/2$, ora dato che $lim_(n->+oo)1/2!=0$ posso concludere che la convergenza non è uniforme in tutto $RR$.
Andiamo a studiare, adesso, la convergenza uniforme in $[1,+oo)$:
Mi sono rifatto allo studio di $f'_n(x)$ fatto in precedenza e studiando il grafico della derivata prima sovrapposto al dominio, ho riscontrato che la successione assume il suo valore più grande in $x=1$, cioè sup$f_n(x)=f_n(1)=n/(1+n^2) ->0$ per $n->+oo$, quindi c'è convergenza uniforme in $[1,+oo)$

Come sempre...vi ringrazio!

Risposte
Giuly191
"Lorin":
..e trovato che $|f_n(x)|<=1/2$, ora dato che $lim_(n->+oo)1/2!=0$ posso concludere che la convergenza non è uniforme in tutto $RR$.

Questo non è proprio vero, da una maggiorazione del genere non puoi concludere assolutamente niente! Infatti la convergenza di quella successione è uniforme su tutto $RR$, per accorgertene ti basta studiare la derivata, cioè $d/dx f_n(x)$. Se non ho sbagliato i conti si annulla nei punti $x_n=pm sqrt(1/n)$. Quindi ottieni:
$Sup_(x in RR) |f_n(x)-f(x)|=Sup_(x in RR) |f_n(sqrt(1/n))|= sqrt(n)/(1+n) -> 0$ quando $n-> +oo$.

Lorin1
Ti posto i calcoli della derivata prima:
$f'_n(x)=(n(1+n^2x^2)-nx(2n^2x))/(1+n^2x^2)^2 = (n(1-n^2x^2))/(1+n^2x^2)^2 =0 <=> 1-n^2x^2=0 <=> x^2=1/n^2$

cioè $x=\pm 1/n $. Studiandone il grafico si nota che il valore più grande si assume per $x_n=1/n => f_n(1/n)=1/2$. Ti trovi!?

Giuly191
Sì scusami hai perfettamente ragione, il punto stazionario $x_n$ è quello che hai trovato tu.
In ogni caso non puoi concludere che la convergenza non è uniforme dal fatto che $|f_n| <= 1/2$, piuttosto lo puoi concludere dal fatto che $Sup_(x in RR) |f_n(x)| = |f_n(1/n)| = 1/2 != 0$.
La seconda parte mi sembra giusta.

Lorin1
Non ti preoccupare...sviste del genere capitano a tutti...sopratutto le prime ore del mattino. :-D
Si comunque, una volta capita la maggiorazione si passa al sup e al limite e vedendo che non è 0 si traggono le dovute conclusioni. Grazie! 8-)

Giuly191
"Lorin":
..una volta capita la maggiorazione si passa al sup..

In realtà quello che volevo farti notare è proprio che non è una maggiorazione che serve, insomma scrivere $|f_n| <= 1/2$ è vero ma inutile.
Una maggiorazione può essere utile quando riesci a dire $|f_n(x)|<= g(n)$, se $lim_(n-> +oo) g(n) =0 $ hai automaticamente la convergenza uniforme di ${f_n}$ sull'insieme considerato.

Lorin1
e quindi nel mio caso una volta che ho visto quella maggiorazione come dovrei concludere senza trarre conclusioni sbagliate!?

Giuly191
"Giuly19":
..piuttosto lo puoi concludere dal fatto che $Sup_(x in RR) |f_n(x)| = |f_n(1/n)| = 1/2 != 0$.

Non serve proprio scrivere il simbolo di $<=$, se la successione ${Sup_(x in RR)|f_n(x)-f(x)|}$ è costante e non nulla come in questo caso, puoi concludere per definizione che la convergenza non è uniforme.

Lorin1
capito! Thanx

Lorin1
Altro esercizietto sulle successioni di funzioni:
Determinare il limite puntuale f della successione di funzioni $f_n(x)=nxe^(-nx^2) , x in [0,1]$ e stabilire se la convergenza è uniforme.

Svolgimento:
La successione converge puntualmente a $f(x)=0$ in quanto $lim_(n->+oo)nxe^(-nx^2)=0$.
Per la convergenza uniforme dato che siamo in un compatto ho studiato la derivata prima e ho trovato $x_n=1/sqrt(2n)$, come punto di massimo quindi sup$|f_n(x)|=max(f_n(x))=f_n(x_n)=n/sqrt(n)e^(-1/2)->0$, quindi $f_n$ converge uniformemente a $0$ in $[0,1]$.

Ora mi chiede di calcolare $int_{0}^{1}f_n(x)dx , int_{0}^{1}f(x)dx$.
Ho applicato il teorema di passaggio al limite sotto segno di integrale, data l'uniforme convergenza in [0,1], va bene!?

Grazie!

Giuly191
"Lorin":
sup$|f_n(x)|=max(f_n(x))=f_n(x_n)=n/sqrt(n)e^(-1/2)->0$, quindi $f_n$ converge uniformemente a $0$ in $[0,1]$.

E' tutto giusto tranne il fatto che quel limite fa $0$! La convergenza non è uniforme su $[0,1]$, infatti puoi verificare facilmente che non vale il passaggio al limite sotto il segno di integrale (che è quello che chiede l'esercizio dopo).

Lorin1
Ops scusa...ho ricontrollato sul quaderno e come un fesso ho messo la radice al numeratore e quindi mi trovavo 0. Quindi devo calcolare i due integrali separatamente?! Se si, allora avremo:

$int_{0}^{1}f_n(x)dx=1/2(1-e^-n) , int_{0}^{1}f(x)dx=0$

giusto!?

Giuly191
Mi tornava la stessa cosa.
Come puoi notare $lim_(n->+oo) int_(0)^(1) f_n(x) dx =1/2 != 0 = int_(0)^(1) [lim_(n->+oo) f_n(x)] dx$.

Lorin1
Ok Grazie...:)

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