Successioni di funzioni

[aronp]

come si determina l'insieme di convergenza puntuale e uniforme di
(nx)/(1+n^2x^2), e in generale quale procedimento adottare per la risoluzione di questo tipo di esercizi?
grazie mille

[Sk_Anonymous]

Per la convergenza puntuale basta fissare x e mandare n all'infinito; direi che nel caso proposto si trova sempre 0. Quanto alla convergenza uniforme, essa e' solo un controllo; basta verificare se l'estremo superiore (al variare di x) di |f_n -f| tende a 0, essendo f_n la successione e f il limite puntuale (0, in questo caso).

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[aronp]

quote:

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Originally posted by Luca.Lussardi

basta verificare se l'estremo superiore (al variare di x) di |f_n -f| tende a 0, essendo f_n la successione e f il limite puntuale (0, in questo caso).

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in questo caso non è necessario però voglio capire il procedimento,
quindi dovrei derivare rispetto a x e studiare la derivata
n(1 - n^2x^2)/(n^2x^2 + 1)^2>0
n^3·x^2 < n
x^2 < 1/n^2
1/n e sostituire il valore del sup alla x in |f_n -f|
ma in questo caso cosa devo sostituire, quale è il sup?

[Sk_Anonymous]

Il conto va bene, quindi f_n ha massimo locale in x=1/n. Inoltre, dal momento che e' continua e all'infinito tende a 0, tale punto e' anche di massimo assoluto. Attenzione: tale punto e' massimo assoluto per f_n, non e' detto che lo sia per |f_n|; quindi basta sostituire in f_n entrambi i valori 1/n e -1/n (che in tal caso danno lo stesso valore assoluto pari a 1/2). Quindi il sup vale 1/2 che non tende a 0, di conseguenza non si ha convergenza uniforme.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[aronp]

spesso si chiede quando non c'è convergenza uniforme, di cercare un sottoinsieme dove c'è, come si deve procedere in generale e in questo caso?

[Sk_Anonymous]

Chiaramente in questo caso bisogna provare un insieme che non contenga 1/n, per esempio, per ogni n. Forse funziona in (a,+\infty), con a>0. Prova a calcolare il sup di |f_n| su (a,+\infty).

In generale non c'e' un metodo, bisogna sempre osservare in che punto cade il massimo, ed escludere quel punto. Ma poi va controllato se altrove la convergenza e' uniforme...

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it