Successioni di funzioni
sia data la seguente successione di funzioni:
fn(x) = nx/(1+nx)
calcorarne la funzione limite e vedere se la convergenza è uniforme nell'intervallo [0,a], a>0.
la mia soluzione è:
per ogni x
0 il limite è 1; per x = 0 la funzione è identicamente nulla, quindi il limite è 0; ne consegue che in quell'intervallo la convergenza non è uniforme, altrimenti, dalla continuità delle fn, sarebbe seguita la continuità della funzione limite.
sono un pò dubbioso... e tale dubbio deriva dagli altri due punti dello stesso esercizio che, per il momento, evito di mettere. commenti?
ciao, ubermensch
fn(x) = nx/(1+nx)
calcorarne la funzione limite e vedere se la convergenza è uniforme nell'intervallo [0,a], a>0.
la mia soluzione è:
per ogni x
0 il limite è 1; per x = 0 la funzione è identicamente nulla, quindi il limite è 0; ne consegue che in quell'intervallo la convergenza non è uniforme, altrimenti, dalla continuità delle fn, sarebbe seguita la continuità della funzione limite.sono un pò dubbioso... e tale dubbio deriva dagli altri due punti dello stesso esercizio che, per il momento, evito di mettere. commenti?
ciao, ubermensch
Risposte
Scusate, ma la tentazione di fare un grafico è troppo forte ...
questi grafici li capisco poco: per x>0 è ovvio che il limite sia 1, ma che succede per x=0? dal grafico non si capisce, ache se la funzione dovrebbe risultare identicamente nulla per ogni n
Per n = 1 hai la funzione in nero.
Poi, ogni funzione in rosso corrisponde ad un valore di n crescente (n=2,3,...).
Ne ho disegante una ventina.
Tutte le funzioni passano per (0,0).
La successione tende non uniformemente su R alla funzione che vale 1 se x0 e 0 se x = 0.
La successione non converge uniformemente ad y = 1 sull'intervallo [0,a] con a > 0.
S.e.e o.
Ciao.
Poi, ogni funzione in rosso corrisponde ad un valore di n crescente (n=2,3,...).
Ne ho disegante una ventina.
Tutte le funzioni passano per (0,0).
La successione tende non uniformemente su R alla funzione che vale 1 se x
0 e 0 se x = 0.La successione non converge uniformemente ad y = 1 sull'intervallo [0,a] con a > 0.
S.e.e o.
Ciao.
quindi l'ho risolto correttamente: i miei dubbi erano ingiustificati! posto quindi gli altri due punti, che diventano un pò oscuri:
1) verificare che
lim f'n(x) = f'(x), x>0
n->oo
dire se si poteva prevedere questo risultato dallo studio precedente.
2) verificare che (lo scrivo a parole) è possibile effettuare il passaggio al limite sotto il segno di integrale esteso all'intervallo [0,a].
dire se era possibile prevedere tale risultato dallo studio fatto inizialmente.
punto 1) la verifica è semplice, però non si poteva prevedere nulla perchè il teorema che mi garantisce quel fatto necessita di informazioni sulla convergenza uniforme delle derivate, informazioni che non ho se mi limito allo studio precedente.
punto 2) già la verifica è concettualmente debole nel senso che la f(x) non è continua e non so quanto e come si possa integrare una funzione discontinua; al di là di questo neanche questo fatto poteva essere previsto, poichè il teorema necessita dell'ipotesi della convergenza uniforme delle fn alla f in tutto l'intervallo [0,a] chiuso e limitato.
bah... spero che tu, o chi per te, sappia delucidarmi.
grazie, ubermensch
1) verificare che
lim f'n(x) = f'(x), x>0
n->oo
dire se si poteva prevedere questo risultato dallo studio precedente.
2) verificare che (lo scrivo a parole) è possibile effettuare il passaggio al limite sotto il segno di integrale esteso all'intervallo [0,a].
dire se era possibile prevedere tale risultato dallo studio fatto inizialmente.
punto 1) la verifica è semplice, però non si poteva prevedere nulla perchè il teorema che mi garantisce quel fatto necessita di informazioni sulla convergenza uniforme delle derivate, informazioni che non ho se mi limito allo studio precedente.
punto 2) già la verifica è concettualmente debole nel senso che la f(x) non è continua e non so quanto e come si possa integrare una funzione discontinua; al di là di questo neanche questo fatto poteva essere previsto, poichè il teorema necessita dell'ipotesi della convergenza uniforme delle fn alla f in tutto l'intervallo [0,a] chiuso e limitato.
bah... spero che tu, o chi per te, sappia delucidarmi.
grazie, ubermensch
Il grafico del punto 1 :
Guardandolo si "vede" che per x>0 la derivata di fn tende a 0 (non uniformemente).
La dimostrazione dal punto di vista rigoroso me la risparmio (io l'esame di analisi 1 l'ho dato 34 anni fa ... e adesso mi diverto ad usare l'intuito e l'occhio. Sorry.
Bye.
Guardandolo si "vede" che per x>0 la derivata di fn tende a 0 (non uniformemente).
La dimostrazione dal punto di vista rigoroso me la risparmio (io l'esame di analisi 1 l'ho dato 34 anni fa ... e adesso mi diverto ad usare l'intuito e l'occhio. Sorry.
Bye.
Secondo punto (sempre a occhio) :
Il limite dell'integrale vale a.
Il teorema di Lebesgue-Vitali assicura che una funziona limitata e continua quasi dappertutto su un intervallo chiuso è intregrabile secondo Riemann.
Siccome la funzione limite è discontinua in 0, ed essendo {0} un insieme di l-misura nulla, l'integrale esiste (ed è = a).
Sempre S.e. e o.
Bye.
Il limite dell'integrale vale a.
Il teorema di Lebesgue-Vitali assicura che una funziona limitata e continua quasi dappertutto su un intervallo chiuso è intregrabile secondo Riemann.
Siccome la funzione limite è discontinua in 0, ed essendo {0} un insieme di l-misura nulla, l'integrale esiste (ed è = a).
Sempre S.e. e o.
Bye.
premetto che ti ringrazio per la disponibilità:
e premetto che ignoro chi siano i signori Lebesque e vitali; quello che avevo pensato io è di utilizzare un bell'integrale improprio così tutto torna! giusto?
ciao, ubermensch
e premetto che ignoro chi siano i signori Lebesque e vitali; quello che avevo pensato io è di utilizzare un bell'integrale improprio così tutto torna! giusto?
ciao, ubermensch
Beh, allora, per essere proprio precisi, secondo me, si dovrebbe ragionare così.
1 - siccome fn non è convergente uniformemente su [0,a], nulla ci assicura che il limite dell'integrale è uguale automaticamente all'integrale del limite
2 - allora bisogna calcolare l'integrale di fn su [0,a] che è molto semplice e dà : a - ln(1 + na)/n
3 - si fa il limite per n tendente all'infinito e si ottiene a
Questo, secondo me, è il ragionamento rigoroso che si dovrebbe fare.
Bye.
ps. Lebesgue, soprattutto, è stato il matematico che ha studiato e "sistemato" tutta la complicata faccenda della misura
1 - siccome fn non è convergente uniformemente su [0,a], nulla ci assicura che il limite dell'integrale è uguale automaticamente all'integrale del limite
2 - allora bisogna calcolare l'integrale di fn su [0,a] che è molto semplice e dà : a - ln(1 + na)/n
3 - si fa il limite per n tendente all'infinito e si ottiene a
Questo, secondo me, è il ragionamento rigoroso che si dovrebbe fare.
Bye.
ps. Lebesgue, soprattutto, è stato il matematico che ha studiato e "sistemato" tutta la complicata faccenda della misura
difatti è proprio quello che ho fatto io; poi ho fatto l'integrale improprio esteso all'intervallo [0,a] e ho ottenuto nuovamente a. quindi tutto torna.
ciao, ubermensch
ciao, ubermensch
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