Successioni di funzione

[pinkfloydian]

Salve a tutti,
sono alle prese con questa successione, dove si chiede di studiare il limite puntuale e uniforme:

$ f_n(x)=(sin(root_(n)x))/(nx) $ nell'intervallo $ (0,1) $

Ho trovato il limite puntuale, che dovrebbe essere $ f(x)=0 AAx in (0,1) $. Ora per trovare il limite uniforme considero $ |f_n(x)-f(x)|=|(sin(root_(n)x))/(nx)| $. Posso levare il modulo perchè per ogni $ x $ le funzioni della successione sono $ >=0 $
Ora, e qui arrivano i dubbi, ho considerato che quella quantità è $ <=1/(nx) $ che tende a 0 (per $ n->oo $?) e quindi c'è la convergenza uniforme in $ (0,1) $

[quantunquemente]

no,si deve ottenere un risultato indipendente da $x$
bisogna dimostrare che $forallepsilon>0 ,exists n_0: forall n>n_0 $ e $ forallx,|f_n(x)| $|f_n(x)=|(sinnx)/(nx)|cdot 1/sqrtnleq 1/sqrtn$
adesso si arriva rapidamente alla tesi

[pinkfloydian]

ok...ma perdonami da dove salta fuori quel $ 1/(root_(n)) $? E come mai hai tolto la radice dalla funsione del seno?

[quantunquemente]

no,scusa ho sbagliato a trascrivere : volevo dire che $|f_n(x)|$ si può scrivere come
$|(sinsqrtnx)/(sqrtnx)| cdot 1/sqrtnleq1/sqrtn$ in quanto la funzione $y=|(senz)/z|$ è minore o uguale ad $1$ nel suo dominio

[pinkfloydian]

Perfetto, ora mi è chiaro. Grazie mille!