Successioni di Cauchy in uno spazio metrico

[Cygnus X1]

Buon giorno, ho uno spazio metrico $(X,d)$ e due successioni di Cauchy ${x_n}$, ${y_n}$. Devo dimostrare che ${d(x_n,y_n)}$ è convergente. Con le disuguaglianze triangolari dimostro che anche ${d(x_n,y_n)}$ è una successione di Cauchy, ma come faccio a dimostrare che converge, intuitivamente a $d(x,y)$? Non so che lo spazio è completo. Grazie

[gugo82]

Provato ad usare la disuguaglianza triangolare?

[Cygnus X1]

Sì, ma non riesco a dimostrare che converge.

[gugo82]

Posta i passaggi...

[poncelet]

@Cygnus X1
[ot]tI Piacciono i Rush?[/ot]

[Cygnus X1]

uso due volte la disuguaglianza di cauchy per mostrare che la distanza è anch'essa una successione di cauchy, ma poi non so come far vedere che converge perché non so se le due successioni convergono

[gugo82]

Passaggi... Detta così significa poco e nulla.

[Cygnus X1]

$AA \epsilon > 0$ $EE n_\epsilon >=1$ tale che $d(x_n,x_m)<\epsilon$ $AA n,m>n_\epsilon$
$AA \epsilon > 0$ $EE n_\epsilon >=1$ tale che $d(y_n,y_m)<\epsilon$ $AA n,m>n_\epsilon$

$d(x_n,y_n)<=d(x_n,x_m)+d(x_m,y_m)+d(y_m,y_n)$, quindi $d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)<=d(x_n,x_m)+d(y_m,y_n)<2\epsilon$

[gugo82]

Perché ti crucci tanto?
La dimostrazione l'hai finita, no?
[Vabbé, almeno a livello concettuale, perché ti sei dimenticato per strada dei valori assoluti che servono; devi rivedere un po' i passaggi.]

Hai che \(d(x_n,y_n)\) è di Cauchy in \(\mathbb{R}\), dunque...

[Cygnus X1]

Sì, i valori assoluti li ho tralasciati per abbreviare, però io non so in quale spazio siamo. Non so se è uno spazio completo, no ?

[gugo82]

E che ti importa?
La successione che stai analizzando, cioè quella di termine generale \(d(x_n,y_n)\), è una successione di numeri reali e perciò essa converge se e solo se è di Cauchy.
Dato che tale successione è di Cauchy, essa converge certamente verso qualcosa. Fine.