Successioni di cauchy in uno spazio metrico

[Nicole2393]

Se ho uno spazio metrico $(X,d)$ e due successioni di cauchy $xn$ e $yn$ convergenti in X, come posso dimostrare che $d(xn,yn)$ è una successione di Cauchy e converge in $R$?
Grazie in anticipo a chi me lo sa spiegare

[gugo82]

Per dimostrare che \(d_n:=d(x_n,y_n)\) è una successione di Cauchy in \(\mathbb{R}\) se tali sono \((x_n)\) ed \((y_n)\) in \(X\) basta giocare un po' con le disuguaglianze triangolari. Prova...
Chiaramente ciò implica che \((d_n)\) converge in \(\mathbb{R}\) senza fare alcuna ipotesi sulle proprietà di convergenza delle \((x_n)\) ed \((y_n)\) in \(X\).

Tuttavia, se \((x_n)\) ed \((y_n)\) convergono in \(X\), allora puoi farti un'idea del \(\lim_n d_n\) ricordando che la funzione distanza è una funzione continua.

[Nicole2393]

infatti io avevo pensato con le disuguaglianze triangolari, ma non so se mi viene fuori qualcosa...se ho $xn$ e $yn$ di cauchy che convergono ad $l$ so che $d(xn,l)< \varepsilon/2 $per $n>n°$ (non so fare l'n segnato xD) e idem per y: $d(yn,l)<\varepsilon/2$...quindi otterrei $d(xn,yn)

[gugo82]

Comincia a provare che \(d_n\) è di Cauchy se tali sono \(x_n\) ed \(y_n\).
Devi far vedere che:
\[
|d_m-d_n|<\varepsilon
\]
per \(m,n>\nu\).
Hai:
\[
|d_m-d_n| = |d(x_m,y_m)-d(x_n,y_n)| = |d(x_m,y_m)-d(x_n,y_m)+d(x_n,y_m)-d(x_n,y_n)|\; ,
\]
quindi...

[Nicole2393]

Ok, quindi continuando ricavo che
$|d(Xm,Ym)-d(Xn,Ym)+d(Xn,Ym)-d(Xm,Ym)|\leq |d(Xm,Ym)-d(Xn,Ym)|+|d(Xn,Ym)-d(Xn,Yn)|$
e so che

$d(Xm,Xn)\leq d(Xm,Ym)+d(Xn,Ym)$

dalla quale deriva che (questo l'ho dimostrato l'altro giorno)
$d(Xn,Xm)\geq |d(Xm,Ym)-d(Xn,Ym)|$ e stessa cosa per l'altro pezzo...quindi

$|d(Xm,Ym)-d(Xn,Ym)|+|d(Xn,Ym)-d(Xn,Yn)|\leq d(Xn,Xm)+d(Yn,Ym)$ che sono entrambe di Cauchy quindi posso scrivere che il tutto è $<\2varepsilon$ ... ho ragionato giusto? (scusa se ho scritto così ma non ho capito come fare i pedici per n ed m quindi se facevo altrimenti non si capiva niente...)

[gugo82]

@ Nicole2393: Ok!

Una volta che hai mostrato che \(d_n:=d(x_n,y_n)\) è di Cauchy in \(\mathbb{R}\) hai gratis la convergenza (perché \(\mathbb{R}\) è completo). Quindi, qualunque cosa succeda alle due successioni di Cauchy \((x_n)\) ed \((y_n)\), \((d_n)\) converge verso un limite \(d\).

Supponiamo adesso che \(x_n\to x\) ed \(y_n\to y\) in \(X\).
Sembrerebbe logico supporre che \(d=d(x,y)\)... Riesci a dimostrarlo?

[Nicole2393]

Non so...allora noi abbiamo che $d(Xn,X)\leq varepsilon$ e $d(Yn,Y)\leq\varepsilon$, se faccio il limite per n che tende a infinito queste sono 0...io ho pensato che usando le diseguaglianze triangolari troviamo che
$d(Xn,Yn)\leqd(Xn,x)+d(Yn,Y)$
$d(Xn,Yn)\leqd(Yn,Y)+d(Y,Xn)$
quindi al limite per n che tende a infinito $d(Xn,Yn)$ dovrebbe tendere alle distanze tra una successione e il punto di convergenza della'altra, e dovrei dimostrare che $d(X,Y)$ è più piccola di queste. Allora scrivendo
$d(X,Y)\leqd(Xn,X)+d(Xn,Y)$ per n che tende a infinito la prima tende a 0 quindi $d(X,Y)$ dovrebbe essere minore di d(Xn,Y)...ha senso..?