Successioni di Cauchy e spazi completi, qualche dubbio

[Polcio]

Salve, avrei qualche dubbio riguardo alle successioni di Cauchy. È chiaro che ho ancora un po' di confusione, quindi avrei bisogno che il mio cervello facesse "click".

Sono a conoscenza della definizione di successione di Cauchy e del fatto che "di Cauchy" [tex]\implies[/tex] limitatezza. Inoltre, come dicono i miei appunti, la condizione di Cauchy è esplicita ed estrinseca, ovvero dipende soltanto dalla successione, dalla distanza e da nient'altro.

I dubbi mi sono venuti svolgendo questo esercizio:

In [tex]\mathbb{R}^+[/tex] siano date due distanze: [tex]d(x,y) = |(y - x)|[/tex] e [tex]D(x,y) = \left|e^{-y^2} - e^{-x^2}\right|[/tex].


[*:1nl66avc]Dire se [tex]d[/tex] e [tex]D[/tex] sono equivalenti.
[*:1nl66avc]Dire se [tex](\mathbb{R}^+, D)[/tex] è completo.[/*:m:1nl66avc][/list:u:1nl66avc]
[/*:m:1nl66avc][/list:u:1nl66avc]
In particolare sul punto 2 dell'esercizio. So che uno spazio metrico [tex](X, d)[/tex] è completo se e solo se tutte le successioni di Cauchy in [tex]X[/tex] ammettono limite in [tex]X[/tex]. Quindi per dimostrare che [tex](\mathbb{R}^+, D)[/tex] non è completo basta trovare una successione di Cauchy (rispetto a [tex]D[/tex], immagino?) con limite non contenuto in [tex]\mathbb{R}^+[/tex].

Primo tentativo:

Siccome vedo un [tex]\mathbb{R}^+[/tex], immagino già di poter costruire una successione di Cauchy che come limite abbia [tex]0 \notin \mathbb{R}^+[/tex].
Se io prendo [tex]\hat{x} : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{R}[/tex] data da [tex]\hat{x} = \frac{1}{n}[/tex], allora per definizione di successione di Cauchy:

[tex]\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \nu \in \mathbb{N} \quad : \quad \forall m,n > \nu \quad D(\hat{x}_n,\hat{x}_m) < \varepsilon[/tex]

Cioè ho [tex]D(\hat{x}_n, \hat{x}_m) = D\left(\frac{1}{n}, \frac{1}{m}\right) = \left|e^{-\frac{1}{m^2}} - e^{-\frac{1}{n^2}}\right|[/tex] che, andando a occhio, sembra molto di Cauchy, perchè se prendo [tex]n = m+k \quad \forall k \in \mathbb{N}[/tex] e faccio tendere [tex]m \longrightarrow +\infty[/tex], ottengo che la distanza si annulla, quindi [tex]\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \nu ...[/tex]

Quindi apparentemente [tex]\frac{1}{n}[/tex] è di Cauchy rispetto a [tex]D[/tex]. Però [tex]\frac{1}{n} \longrightarrow 0[/tex] per [tex]n \longrightarrow +\infty[/tex] e visto che [tex]0 \notin \mathbb{R}^+[/tex], allora [tex](\mathbb{R}^+, D)[/tex] non è completo.


Secondo tentativo, durante il quale mi è venuto il dubbio:

Se io prendo [tex]\hat{x} : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{R}[/tex] data da [tex]\hat{x} = n[/tex], allora per definizione di successione di Cauchy:

[tex]\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \nu \in \mathbb{N} \quad : \quad \forall m,n > \nu \quad D(\hat{x}_n,\hat{x}_m) < \varepsilon[/tex]

Cioè ho [tex]D(\hat{x}_n, \hat{x}_m) = D\left(n, m\right) = \left|e^{-m^2} - e^{-n^2}\right|[/tex] che, andando (ancora) a occhio, sembra di Cauchy, perchè se (ancora) prendo [tex]n = m+k \quad \forall k \in \mathbb{N}[/tex] e faccio tendere [tex]m \longrightarrow +\infty[/tex], ottengo che la distanza si annulla, quindi [tex]\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \nu ...[/tex]

Quindi apparentemente [tex]\hat{x} = n[/tex] è anch'essa di Cauchy rispetto a [tex]D[/tex]. Però [tex]n \longrightarrow +\infty[/tex] per [tex]n \longrightarrow +\infty[/tex] e visto che [tex]+\infty \notin \mathbb{R}^+[/tex], allora [tex](\mathbb{R}^+, D)[/tex] non è completo.


Ecco i dubbi:


[*:1nl66avc] siccome la "Cauchy-ezza" di una successione è influenzata dalla distanza che si usa, ci possono essere successioni che numericamente divergono ma che sono di Cauchy rispetto a quella distanza? Ad esempio, [tex]\hat{x} = n[/tex] ovviamente diverge. Quindi non dovrebbe essere di Cauchy, giusto? O invece è di Cauchy rispetto alla distanza [tex]D[/tex] ma non, ad esempio, rispetto a un'altra distanza?[/*:m:1nl66avc]
[*:1nl66avc] Sono giuste le mie dimostrazioni della "Cauchy-ezza"? Vanno bene entrambe le successioni che ho costruito?[/*:m:1nl66avc][/list:u:1nl66avc]

Thanks in advance.

[vict85]

[list=1][*:d0zfgsuk] Sì, è possibile. Siccome \(\infty\) non fa parte di \(\mathbb{R}\), la presenza di successioni di Cauchy divergenti implica che lo spazio non è completo con quella metrica.
[/*:m:d0zfgsuk]
[*:d0zfgsuk] Non ho controllato i calcoli, ma locuzioni come "andando a occhio" non dovrebbero essere presenti in dimostrazioni. Stai attento insomma.[/*:m:d0zfgsuk][/list:o:d0zfgsuk]

[edit] Fa troppo caldo... avevo scritto una cosa sbagliata.

[Polcio]

Grazie mille per la risposta! Sì, sì, non preoccuparti, inizialmente sono andato a occhio, ma poi subito dopo ho dimostrato usando termini rigorosi.

Quindi in definitiva una successione numericamente divergente come [tex]n^k[/tex] con [tex]k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}[/tex] può effettivamente essere di Cauchy, definendo una distanza opportuna, giusto?

[vict85]

Si, giusto.

[Polcio]

Grazie mille, ciao!

[gugo82]

Scusate, ma che vuol dire "divergenti"?...

[Polcio]

Una sequenza [tex]a_n : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{R}[/tex] diverge se:
\[ \lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty \] o \[ \lim_{n \to +\infty} a_n = -\infty \]

Nel mio caso [tex]a_n = n[/tex] (oppure [tex]a_n = n^2[/tex] o [tex]a_n = n^3[/tex] o [tex]a_n = n^4[/tex], ecc.), che sono tutte sequenze il cui limite per [tex]n \to +\infty[/tex] vale [tex]+\infty[/tex].

[gugo82]

No, quel limite non è $+oo$.

[Polcio]

Appunto, il mio dubbio era proprio qui: questo limite dipende quindi dalla distanza che si usa o il limite è sempre quello ma cambia la condizione di Cauchy?

In altre parole:

[tex]\lim_{n\to+\infty} n = +\infty[/tex] su [tex](\mathbb{R}, d)[/tex], con [tex]d(x,y) = |y-x|[/tex] (per esempio)
e
[tex]\lim_{n\to+\infty} n = 0[/tex] su [tex](\mathbb{R}, D)[/tex], con [tex]D(x,y) = \left|e^{-y^2}-e^{-x^2}\right|[/tex]?
(mi sembra strano, visto che una successione è una semplice successione di numeri. Invece la condizione di Cauchy dipende dalla distanza che si sceglie).


Oppure:

[tex]\lim_{n\to+\infty} n = +\infty[/tex] indipendentemente dalla distanza che si usa, ma a cambiare è solo la cauchy-ezza della successione rispetto alla distanza?


Perchè io so che [tex](\mathbb{R}, d)[/tex] è completo con, ad esempio, [tex]d(x,y)=|y-x|[/tex], dato che ogni successione di Cauchy in [tex]\mathbb{R}[/tex] ammette limite in [tex]\mathbb{R}[/tex].
[tex]a_n=n[/tex] (in questo spazio metrico, suppongo) non è una successione di Cauchy, perché [tex]\lim_{n\to+\infty} n = +\infty[/tex], e [tex]+\infty\notin\mathbb{R}[/tex]. Se quella successione fosse di Cauchy, allora [tex](\mathbb{R}, d)[/tex] non sarebbe completo.


Però, come ha detto vict85, [tex]a_n=n[/tex] può essere di Cauchy se uso un'altra metrica, come per esempio [tex]D(x,y) = \left|e^{-y^2}-e^{-x^2}\right|[/tex].
Ora, [tex](\mathbb{R}^+, D)[/tex] non è completo perché posso trovare una successione di Cauchy che converge a [tex]0\notin\mathbb{R}^+[/tex].
Però nemmeno [tex](\mathbb{R}, D)[/tex] è completo, perchè in questo caso [tex]a_n=n[/tex] è una successione di Cauchy, che come limite però ha [tex]+\infty[/tex].

Ho capito bene? Grazie per la pazienza.

[gabriella127]

"Polcio":
[tex]\lim_{n\to+\infty} n = 0[/tex] su [tex](\mathbb{R}, D)[/tex], con [tex]D(x,y) = \left|e^{-y^2}-e^{-x^2}\right|[/tex]?
(mi sembra strano, visto che una successione è una semplice successione di numeri. Invece la condizione di Cauchy dipende dalla distanza che si sceglie).

In uno spazio metrico non esistono 'semplici successioni di numeri', nemmeno in $\mathbb(R)$, non significa niente.
Un insieme $X$ è uno spazio metrico se su di esso viene definita una distanza $d$ , uno spazio metrico è una coppia $(X,d$), $X$ da solo non è uno spazio metrico.

Quando in analisi si parla di $\mathbb(R)$ e di limiti in $\mathbb(R)$ prima di avere studiato gli spazi metrici, si dà per implicito che la distanza considerata sia quella usuale, cioè quella del modulo: $d(x,y)=|x-y|$.
Ma su $\mathbb(R)$, come sai, ci possono essere altre distanze, in quel caso si tratta di un altro spazio metrico.
Scusa la pedanteria ma è per capirci.

Il limite e la 'cauchyezza' di una successione dipendono dalla distanza? Sì, entrambi.

In generale, se nella definizione di un concetto vedi la distanza, quel concetto dipende dalla distanza. E la distanza compare sia nella definizione di limite sia nella definizione di successione di Cauchy negli spazi metrici.

Un esempio che si fa di solito è quello della distanza discreta, forse l'hai fatta.: dato un insieme $X$ qualsiasi,
$d(x,y)=1$ se $x!=y$ e $d(x,y)=0$ se $x=y$.
In un insieme con la distanza discreta, e quindi anche in $\mathbb(R)$ con la distanza discreta, tutte e sole le successioni convergenti (e di Cauchy) sono le successioni definitivamente costanti, cosa che non è ovviamente vera in $\mathbb(R)$ con la distanza usuale.

Corollario : dire che una successione converge 'numericamente' non vuol dire nulla. Forse intendevi dire che converge in $\mathbb(R)$ nella metrica usuale.

[Polcio]

Grazie infinite! La tua risposta chiarissima mi ha tolto ogni dubbio.

[gabriella127]

Sono contenta! In bocca al lupo per l'esame!

[vict85]

Comunque io avevo usato una diversa definizione di divergente: una successione \(\{s_n\}_{n\ge 1}\) è divergente superiormente se per ogni \(M > 0 \in \mathbb{R}\) esiste un \(N > 0\) tale che \(s_n > M\) per ogni \(n > N\). E similmente per la divergenza verso \(-\infty\) Questa definizione non dipende dalla funzione distanza, seppur sia ovviamente equivalente alla divergenza usuale. Rispetto ad una diversa metrica, una successione di questo tipo potrebbe tranquillamente avere limite in \(\mathbb{R}\).

Nota che non è affatto detto che nella chiusura (per successioni) di \(\mathbb{R}\) rispetto ad un altra metrica esistano punti all'infinito.

[gabriella127]

Scusa vict, a quale altra definizione di successione divergente ti riferisci? Quella che hai dato sopra mi sembra quella standard.

[vict85]

"gabriella127":Scusa vict, a quale altra definizione di successione divergente ti riferisci? Quella che hai dato sopra mi sembra quella standard.

Infatti e non usa esplicitamente la topologia. Ovviamente, \((a,+\infty)\) sono aperti nella topologia/metrica standard e questo fa sì che la definizione di divergente possa essere scritta come un limite in \(\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}\). Quello che intendevo è che questa definizione ha senso anche con un'altra topologia/metrica, ma se quegli insiemi non sono aperti allora non ha alcun significato topologico.

@Polcio \(-\infty\) e \(+\infty\) non fanno parte di \(\mathbb{R}\), quindi la scrittura \(\lim_{n\to\infty} a_n = \pm\infty\) è un po' un abuso. Se ti chiedono la definizione all'esame è meglio se la dici come ho scritto sopra io.

[gabriella127]

Sì, è vero, quella definizione non dipende dalla topologia\metrica. Ma mi chiedevo se ha senso introdurla in $\mathbb(R)$ con una distanza diversa da quella usuale. Potremmo avere una successione che ha due limiti diversi, come ad esempio $n$: con la definizione di limite all'infinito che hai dato tu $n$ avrebbe limite $+oo$, con ad esempio la distanza $D$ introdotta da Polcio

$D(x,y)=|e^(-x^2)-e^(-y^2)|$

avrebbe limite $0$.

In effetti non ho mai visto, nei capitoli sugli spazi metrici, introdurre il limite all'infinito, ma solo definire la convergenza.
Il che è normale, visto che una definizione di divergenza come quella che hai scritto tu richiede l'ordinamento, e non è che in generale c'è un ordinamento in uno spazio metrico qualsiasi.