Successioni di Cauchy e convergenza

[simi2799]

Salve, ho un dubbio sulle successioni di Cauchy. Si sa che ogni successione convergente è di Cauchy, e che ogni successione di Cauchy è limitata, quindi non divergente. Quindi, vale il contrario? Cioè che ogni successione di Cauchy è convergente?
Se non è così, magari, ogni successione di Cauchy può essere o convergente o irregolare?

[Reyzet]

Negli spazi metrici completi sì (per definizione di completezza)

[gabriella127]

Come dice Reyzet, è necessaria la completezza dello spazio che stiamo considerando.

In generale è falso che ogni successione di Cauchy sia convergente, dipende dallo spazio in cui siamo.
Ad esempio, se prendiamo l'insieme $Q$ dei razionali, che non è completo, abbiamo successioni di Cauchy di razionali che non convergono in $Q$.
Non convergono nel senso che non convergono a un razionale, ma convergono a un irrazionale (se fossimo in $R$), quindi, per così dire, fuori dell'insieme in cui stiamo operando, i razionali, appunto.

[Reyzet]

Esempi famosi:
1) $1/n$ in $]0,1]$ con metrica euclidea indotta, è di Cauchy (converge a zero in R perciò i termini sono vicini definitivamente, indipendentemente da dove ci troviamo) ma non converge qui dentro
2) $(1+1/n)^n$ in $\mathbb{Q}$ come prima (converge ad e che non è razionale)