Successioni definite per ricorrenza
Ciao ragazzi..ho qualche dubbio sulla risoluzione di questo genere di successioni..
Il libro di testo che utilizzo consiglia un procedimento standard per studiare in maniera esauriente una successione per ricorrenza, e cioè:
1) Verificare se la successione è ben definita (condizioni d'esistenza)
2) Provare che la funzione è regolare
3) Cercare il possibile limite della successione.
Credo che sia un ottimo metodo perchè non dovrebbe trascurare niente giusto?
Detto ciò vorrei sapere passo passo come si dovrebbe procedere in modo da spiegare una volta per tutte questo genere di esercizio (ho letto diversi topic ma in nessuno si spiega bene come procedere).
Io non ho ben chiaro il punto 2 e 3.
Cioè provare che la funzione è regolare cosa significa? che non ha punti di discontinuità? Se si, come lo si dimostra?
Per la ricerca dei possibili limiti della successione basta risolvere la funzione $\phi(t)=0$ e una volta trovate le soluzioni si vede se possono essere estremi inferiori o superiori della funzione $a_n+1$?
Grazie anticipatamente per le risposte
Il libro di testo che utilizzo consiglia un procedimento standard per studiare in maniera esauriente una successione per ricorrenza, e cioè:
1) Verificare se la successione è ben definita (condizioni d'esistenza)
2) Provare che la funzione è regolare
3) Cercare il possibile limite della successione.
Credo che sia un ottimo metodo perchè non dovrebbe trascurare niente giusto?
Detto ciò vorrei sapere passo passo come si dovrebbe procedere in modo da spiegare una volta per tutte questo genere di esercizio (ho letto diversi topic ma in nessuno si spiega bene come procedere).
Io non ho ben chiaro il punto 2 e 3.
Cioè provare che la funzione è regolare cosa significa? che non ha punti di discontinuità? Se si, come lo si dimostra?
Per la ricerca dei possibili limiti della successione basta risolvere la funzione $\phi(t)=0$ e una volta trovate le soluzioni si vede se possono essere estremi inferiori o superiori della funzione $a_n+1$?
Grazie anticipatamente per le risposte
Risposte
Premesso che purtroppo non esiste un algoritmo standard per trattare le successioni definite per ricorrenza, direi:
1. regolare per me significa che "non è brutta": insomma, non oscilla in malo modo (altrimenti non avrebbe limite); poi, già che ci siamo, proviamo a capire come è il suo segno e se è limitata e magari pure monotona (in questo modo mostriamo che il limite esiste finito: ricorda che $"monotonia + limitatezza" => "convergenza"$).
2. i candidati ad essere "limite" sono le soluzioni di $f(a)=a$ non $f(a)=0$ (supponendo che $f(a)$ è la formula che ti dà l'espressione del termine $(n+1)$-esimo in funzione del termine $a_n$), ovvero i cosiddetti punti fissi di $f$.
Prova a postare un esempio, magari ragioniamo insieme su quello.
1. regolare per me significa che "non è brutta": insomma, non oscilla in malo modo (altrimenti non avrebbe limite); poi, già che ci siamo, proviamo a capire come è il suo segno e se è limitata e magari pure monotona (in questo modo mostriamo che il limite esiste finito: ricorda che $"monotonia + limitatezza" => "convergenza"$).
2. i candidati ad essere "limite" sono le soluzioni di $f(a)=a$ non $f(a)=0$ (supponendo che $f(a)$ è la formula che ti dà l'espressione del termine $(n+1)$-esimo in funzione del termine $a_n$), ovvero i cosiddetti punti fissi di $f$.
Prova a postare un esempio, magari ragioniamo insieme su quello.
Se ho ad esempio una successione del tipo:
$a_o=2$
$a_(n+1)=a_n^2-a_n-2$
risolvendo $phi(t)=t^2-t-2-t=0$ troverò due soluzioni distinte: $1-sqrt(3)$ e $1+sqrt(3)$ che sono dei candidati ad essere limiti della successione giusto?
ora io non ho capito come faccio a vedere dove la successione cresce...cioè devo studiare $f(t)=t^2-t-2>0$ oppure la sua derivata oppure studiando quando $phi(t)=t^2-t-2-t=0>0$?
Non soffermatevi a quest'esempio perchè è tale, vorrei capire in generale come fare =)
grazie mille ancora ^^
$a_o=2$
$a_(n+1)=a_n^2-a_n-2$
risolvendo $phi(t)=t^2-t-2-t=0$ troverò due soluzioni distinte: $1-sqrt(3)$ e $1+sqrt(3)$ che sono dei candidati ad essere limiti della successione giusto?
ora io non ho capito come faccio a vedere dove la successione cresce...cioè devo studiare $f(t)=t^2-t-2>0$ oppure la sua derivata oppure studiando quando $phi(t)=t^2-t-2-t=0>0$?
Non soffermatevi a quest'esempio perchè è tale, vorrei capire in generale come fare =)
grazie mille ancora ^^
Se cercavi bene prima di postare abbiamo appena discusso alcuni esempi in un topic che ha quasi lo stesso titolo del topic da te aperto. In particolare io suggerivo, nell'altro topic, il metodo che ti insegnano subito per intuire l'andamento della successione, ovvero disegnare la ricorsione. Rivedi quanto scritto nell'altro topic.
Per semplicità di inserisco qui il link, ciao!
https://www.matematicamente.it/forum/suc ... 48243.html
https://www.matematicamente.it/forum/suc ... 48243.html
ok grazie per il link..cmq luca io già avevo visto le altre discussioni però come in tutte le altre spesso vi soffermate al contesto dell'esercizio, senza dare una visione generale dell'argomento in questione.
Non capisco perchè dite che non è possibile avere uno schema standard per risolvere queste successioni. Io (che credo, anzi spero di aver capito come si risolvono) ho fatto diversi esercizi ed ho visto che i passi da seguire sono sempre gli stessi:
1) piccolo studio della funzione $f(t)=a_n+1$ [vedo le c.e. e studio il segno in modo da vedere quali termini della successione sono positivi]
2) risolvo l'equazione $phi(t)=0$ che corrisponde a $t=f(t)$ e trovo i possibili punti fissi (limiti della successione in questione)
3) vedo quando $phi(t)>0$ e così vedo in che punti la successione risulta crescente e dove decrescente ($phi(t)>0$ -> $a_n
Schema a ragnatela e altre cose credo che siano superflui no?
Ditemi se sbaglio o se dimentico qualcosa.
Non capisco perchè dite che non è possibile avere uno schema standard per risolvere queste successioni. Io (che credo, anzi spero di aver capito come si risolvono) ho fatto diversi esercizi ed ho visto che i passi da seguire sono sempre gli stessi:
1) piccolo studio della funzione $f(t)=a_n+1$ [vedo le c.e. e studio il segno in modo da vedere quali termini della successione sono positivi]
2) risolvo l'equazione $phi(t)=0$ che corrisponde a $t=f(t)$ e trovo i possibili punti fissi (limiti della successione in questione)
3) vedo quando $phi(t)>0$ e così vedo in che punti la successione risulta crescente e dove decrescente ($phi(t)>0$ -> $a_n
Schema a ragnatela e altre cose credo che siano superflui no?
Ditemi se sbaglio o se dimentico qualcosa.
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