Successioni definite per ricorrenza

[JustBreathe1]

Buonasera,

Nella risoluzione delle successioni definite per ricorrenza io uso solitamente questa strategia risolutiva:

Data la successione $a_n$ = $\{(a_0 = \nu),(a_(n+1)= f(a_n) ):}$

per trovare il limite della mia successione io utilizzo questa strategia:

1)Osservo i valori di $a_1 ; a_2 ; a_3$ ;
2) Suppongo che la mia successione sia monotona crescente/decrescente in base ai valori iniziali e lo verifico;
3) Una volta provata la monotonia della mia successione, cerco di trovare il limite sapendo che $\lim_{n \to \infty}a_(n+1) = \lambda = \lim_{n \to \infty}a_(n) $

Dal calcolo del limite potrei avere più risultati.
A seconda di come sia la monotonia della mia successione, scelgo il candidato adatto.

Domande...Secondo voi:
- c'è qualche ragionamento poco corretto o poco conveniente?
- Se non riesco a dimostrare la monotonia della mia successione, cosa faccio?
- C'è qualche altro punto importante da tenere bene a mente nella risoluzione di questi esercizi?

Grazie di cuore a chiunque risponda!!

[gugo82]

La strategia, in generale, è più o meno quella.

In realtà $(a_n)$ non è tenuta ad essere monotona.
Quello che puoi fare, se non riesci a provare la monotonia, è cercare di ragionare sulle sottosuccessioni degli elementi di posto pari e posto dispari.

[JustBreathe1]

"arnett":Un paio di osservazioni, non esaustive:

- Non ho capito tanto questo:

$ \lim_{n \to \infty}a_(n+1) = \lambda = \lim_{n \to \infty}a_(n) $

E' sicuramente vero che se $a_n$ ha un limite pure $a_{n+1}$ avrà lo stesso limite, ma non particolarmente utile. L'osservazione cruciale è che i candidati limite risolvono $l=f(l)$, con $l$ non necessariamente finito.

- Attenzione a non farsi influenzare troppo dai valori iniziali: le successioni possono essere monotone anche solo definitivamente.

- In caso si richieda lo studio di convergenza al variare di $\nu$, tornano utili i diagrammi a ragnatela.

Ciao Arnett.
Faccio un esempio per spiegarmi meglio riguardo quel passaggio.
Preso ad esempio
$a_n$ = $\{(a_0 = 1),a_(n+1)= 1/(4-(a_n) ):}$
Io so che $\lim_{n \to \infty}a_(n) = \lambda$
ma anche $\lim_{n \to \infty}a_(n+1) = \lambda$
Dunque $\lim_{n \to \infty} 1/(4 -\lambda) = \lambda$

Da questo limite, porto tutto a sinistra, ricavo un'equazione di secondo grado da cui ottengo le mie due radici, nonchè i candidati ad essere il limite della mia successione.

[JustBreathe1]

"gugo82":La strategia, in generale, è più o meno quella.

In realtà $(a_n)$ non è tenuta ad essere monotona.
Quello che puoi fare, se non riesci a provare la monotonia, è cercare di ragionare sulle sottosuccessioni degli elementi di posto pari e posto dispari.

Ciao Gugo,
grazie per la dritta.
Se puoi, mi correggeresti nel seguente ragionamento, perfavore?
Il motivo per cui studio le sottosuccessioni degli elementi di posto pari e posto dispari, è il seguente:
lo studio delle suddette sottosuccessioni potrebbe essere più semplice (all'atto pratico non riesco a figurarmelo), e se la mia successione ammette limite, allora anche le due sottosuccessioni citate avranno lo stesso limite.
Nel caso in cui i limiti delle due sottosuccessioni differiranno, allora la mia successione non ammetterà limite.
E' corretto? Tralascio qualcosa?

[gugo82]

"JustBreathe":[quote="gugo82"]La strategia, in generale, è più o meno quella.

In realtà $(a_n)$ non è tenuta ad essere monotona.
Quello che puoi fare, se non riesci a provare la monotonia, è cercare di ragionare sulle sottosuccessioni degli elementi di posto pari e posto dispari.

Il motivo per cui studio le sottosuccessioni degli elementi di posto pari e posto dispari, è il seguente:
lo studio delle suddette sottosuccessioni potrebbe essere più semplice (all'atto pratico non riesco a figurarmelo), e se la mia successione ammette limite, allora anche le due sottosuccessioni citate avranno lo stesso limite.
Nel caso in cui i limiti delle due sottosuccessioni differiranno, allora la mia successione non ammetterà limite.
E' corretto? Tralascio qualcosa?[/quote]
Non proprio.
Il fatto è che la successione $(a_n)$ ha limite $l$ se e solo se le due estratte convergono ambedue ad $l$.

Ad esempio, studiati le successioni:
\[
\begin{cases}
a_{n+1} = (a_n - 1)^2 \\
a_0 = 1/2
\end{cases} \qquad \text{e} \qquad \begin{cases}
a_{n+1} = (a_n - 1)^2 \\
a_0 = 0
\end{cases}\]

[JustBreathe1]

"gugo82":[quote="JustBreathe"][quote="gugo82"]La strategia, in generale, è più o meno quella.

In realtà $(a_n)$ non è tenuta ad essere monotona.
Quello che puoi fare, se non riesci a provare la monotonia, è cercare di ragionare sulle sottosuccessioni degli elementi di posto pari e posto dispari.

Il motivo per cui studio le sottosuccessioni degli elementi di posto pari e posto dispari, è il seguente:
lo studio delle suddette sottosuccessioni potrebbe essere più semplice (all'atto pratico non riesco a figurarmelo), e se la mia successione ammette limite, allora anche le due sottosuccessioni citate avranno lo stesso limite.
Nel caso in cui i limiti delle due sottosuccessioni differiranno, allora la mia successione non ammetterà limite.
E' corretto? Tralascio qualcosa?[/quote]
Non proprio.
Il fatto è che la successione $(a_n)$ ha limite $l$ se e solo se le due estratte convergono ambedue ad $l$.

Ad esempio, studiati le successioni:
\[
\begin{cases}
a_{n+1} = (a_n - 1)^2 \\
a_0 = 1/2
\end{cases} \qquad \text{e} \qquad \begin{cases}
a_{n+1} = (a_n - 1)^2 \\
a_0 = 0
\end{cases}\][/quote]

Grazie mille gugo!!