Successioni definite per ricorrenza
"Calcolare il limite della successione definita per ricorrenza
$a_n={(a_1=1),(a_(n+1)=\frac{a_n}{2}+\frac{2}{n}):}$"
Ecco alcuni termini (spero di averli calcolati per bene): $a_2=\frac{5}{2}, a_3=\frac{9}{4}, a_4=\frac{43}{24}, a_5=\frac{17}{16}$
Ho dimostrato che la successione è maggiore a 0 per induzione e sempre per induzione ho dimostrato che
$a_n<2 AAn>3$
La base dell'induzione ce l'ho $a_4=\frac{43}{24}<2$;per ipotesi induttiva vale $a_n<2$ cioè $\frac{a_n}{2}<1$. D'altra parte per $n>3$ risulta $\frac{2}{n}<\frac{2}{3}<1$ e quindi $a_(n+1)=\frac{a_n}{2}+\frac{2}{n}<1+1=2$
La successione sembra essere strettamente decrescente per $n>1$ e lo dimostro per induzione
La base dell'induzione ce l'ho essendo $a_2=\frac{5}{2}>\frac{9}{4}=a_3$. Per la disuguaglianza $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$ e per l'ipotesi induttiva si ha
$a_(n+2)=\frac{a_(n+1)}{2}+\frac{2}{n+1}<\frac{a_n}{2}+\frac{2}{n}=a_(n+1)$
La successione è monotona e decrescente per cui il limite esiste ed è finito. Passando al limite "$a_(n+1)$" si ha
$l=\frac{l}{2}$ cioè $l=0$
Non avendo il risultato, posso chiedervi se ho ragionato bene?
È possibile scrivere la successione in forma chiusa? Se no perché?
Grazie anticipatamente
$a_n={(a_1=1),(a_(n+1)=\frac{a_n}{2}+\frac{2}{n}):}$"
Ecco alcuni termini (spero di averli calcolati per bene): $a_2=\frac{5}{2}, a_3=\frac{9}{4}, a_4=\frac{43}{24}, a_5=\frac{17}{16}$
Ho dimostrato che la successione è maggiore a 0 per induzione e sempre per induzione ho dimostrato che
$a_n<2 AAn>3$
La base dell'induzione ce l'ho $a_4=\frac{43}{24}<2$;per ipotesi induttiva vale $a_n<2$ cioè $\frac{a_n}{2}<1$. D'altra parte per $n>3$ risulta $\frac{2}{n}<\frac{2}{3}<1$ e quindi $a_(n+1)=\frac{a_n}{2}+\frac{2}{n}<1+1=2$
La successione sembra essere strettamente decrescente per $n>1$ e lo dimostro per induzione
La base dell'induzione ce l'ho essendo $a_2=\frac{5}{2}>\frac{9}{4}=a_3$. Per la disuguaglianza $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$ e per l'ipotesi induttiva si ha
$a_(n+2)=\frac{a_(n+1)}{2}+\frac{2}{n+1}<\frac{a_n}{2}+\frac{2}{n}=a_(n+1)$
La successione è monotona e decrescente per cui il limite esiste ed è finito. Passando al limite "$a_(n+1)$" si ha
$l=\frac{l}{2}$ cioè $l=0$
Non avendo il risultato, posso chiedervi se ho ragionato bene?
È possibile scrivere la successione in forma chiusa? Se no perché?
Grazie anticipatamente
Risposte
Hai ragionato perfettamente, comunque non so se si possa scrivere in forma chiusa, ma difficilmente le successioni definite per ricorrenza si possono scrivere in forma chiusa, questa non credo sia tra quelle.
Grazie mille per la conferma 
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