Successioni convergenti in un insieme
Esercizio:
$A = { (x , y) in RR^2 : x > 0 , y > 0 , x^2 + y^2 in [ 0 , 1 ] nn QQ }$
Un punto del piano (nel primo quadrante) interno al cerchio di raggio $1$ appartiene ad $A$ se la circonferenza che passa per il punto ha per raggio un numero razionale. L'insieme è quindi un unione di quarti di circonferenza.
1) Devo dimostrare che esiste una successione di punti di $A$ che converge ad un punto del complementare di $A$.
Considero la "famiglia" dei quarti di circonferenza (che sono insiemi) tale che $x^2 + y^2 = 1/n$. Per l'assioma della scelta da ognuna posso estrarre un punto:
Per $n = 1$ considero un qualunque punto $(x, y)$ del primo quadrante tale che $x^2 + y^2 = 1$.
Per $n = 2$ considero un qualunque punto $(x, y)$ del primo quadrante tale che $x^2 + y^2 = 1/2$.
E così via... Costruisco una successione di punti che converge a $(0,0)$, che non appartiene ad $A$.
Sbaglio?
$A = { (x , y) in RR^2 : x > 0 , y > 0 , x^2 + y^2 in [ 0 , 1 ] nn QQ }$
Un punto del piano (nel primo quadrante) interno al cerchio di raggio $1$ appartiene ad $A$ se la circonferenza che passa per il punto ha per raggio un numero razionale. L'insieme è quindi un unione di quarti di circonferenza.
1) Devo dimostrare che esiste una successione di punti di $A$ che converge ad un punto del complementare di $A$.
Considero la "famiglia" dei quarti di circonferenza (che sono insiemi) tale che $x^2 + y^2 = 1/n$. Per l'assioma della scelta da ognuna posso estrarre un punto:
Per $n = 1$ considero un qualunque punto $(x, y)$ del primo quadrante tale che $x^2 + y^2 = 1$.
Per $n = 2$ considero un qualunque punto $(x, y)$ del primo quadrante tale che $x^2 + y^2 = 1/2$.
E così via... Costruisco una successione di punti che converge a $(0,0)$, che non appartiene ad $A$.
Sbaglio?
Risposte
$bar A = A uu D(A)$
Geometricamente mi sembra che la chiusura possa essere:
$bar A = { (x , y) in RR^2 : x >= 0 , y >= 0 , x^2 + y^2 in [0 , 1] }$
Qualcuno me lo conferma?
Lo domando perché il punto seguente è:
2) Esiste una successione di punti di $C(bar A)$ che converge ad un punto di $bar A$?
Se la chiusura è quella da me dedotta, allora basta prendere la successione di punti del tipo $(- 1/n , 0 ) in C(bar A)$, la quale converge a $(0,0)$ che appartiene sicuramente a $bar A$.
3) Esiste una successione di punti di $A$ che non ammette sottosuccessioni convergenti ad un punto di $bar A$?
No. Poiché $bar A$ coincide con l'aderenza di $A$ e tutti i punti che sono limiti devono essere punti aderenti, i valori a cui le sottosuccessioni convergono non possono abitare fuori dall'aderenza.
C'è qualche errore/imprecisione?
Geometricamente mi sembra che la chiusura possa essere:
$bar A = { (x , y) in RR^2 : x >= 0 , y >= 0 , x^2 + y^2 in [0 , 1] }$
Qualcuno me lo conferma?
Lo domando perché il punto seguente è:
2) Esiste una successione di punti di $C(bar A)$ che converge ad un punto di $bar A$?
Se la chiusura è quella da me dedotta, allora basta prendere la successione di punti del tipo $(- 1/n , 0 ) in C(bar A)$, la quale converge a $(0,0)$ che appartiene sicuramente a $bar A$.
3) Esiste una successione di punti di $A$ che non ammette sottosuccessioni convergenti ad un punto di $bar A$?
No. Poiché $bar A$ coincide con l'aderenza di $A$ e tutti i punti che sono limiti devono essere punti aderenti, i valori a cui le sottosuccessioni convergono non possono abitare fuori dall'aderenza.
C'è qualche errore/imprecisione?
Per maggior sicurezza, nella risposta alla 3) si può far riferimento alla compattezza di $\bar{A}$ (che implica che qualsiasi successione di punti di $A$ ammette una sottosuccessione convergente).
Se infatti $\bar{A}$ non fosse limitato, esisterebbero successioni che non ammettono sottosuccessioni convergenti (e dunque nemmeno sottosuccessioni convergenti ad un punto di $\bar{A}$). Rimane vero il fatto che, se una siffatta successione ammette una sottosuccessione convergente ad un limite $l$, allora $l\in\bar{A}$.
Se infatti $\bar{A}$ non fosse limitato, esisterebbero successioni che non ammettono sottosuccessioni convergenti (e dunque nemmeno sottosuccessioni convergenti ad un punto di $\bar{A}$). Rimane vero il fatto che, se una siffatta successione ammette una sottosuccessione convergente ad un limite $l$, allora $l\in\bar{A}$.
"Rigel":
Per maggior sicurezza, nella risposta alla 3) si può far riferimento alla compattezza di $\bar{A}$ (che implica che qualsiasi successione di punti di $A$ ammette una sottosuccessione convergente).
Se infatti $\bar{A}$ non fosse limitato, esisterebbero successioni che non ammettono sottosuccessioni convergenti (e dunque nemmeno sottosuccessioni convergenti ad un punto di $\bar{A}$). Rimane vero il fatto che, se una siffatta successione ammette una sottosuccessione convergente ad un limite $l$, allora $l\in\bar{A}$.
Chiarissimo!
Per gli altri punti, invece?
Gli altri punti mi sembrano a posto.
"Rigel":
Gli altri punti mi sembrano a posto.
Grazie infinite, Rigel.
Solo una conferma: una sottosuccessione sarebbe una successione estratta?
E poi.. Per quanto riguarda la topologia dei punti aderenti.. Non ricordo di averla mai trattata. Potete chiarirmi la loro definizione? Non mi sono mai fidato troppo di wikipedia.. In cosa si differenziano dai punti di accumulazione?
E poi.. Per quanto riguarda la topologia dei punti aderenti.. Non ricordo di averla mai trattata. Potete chiarirmi la loro definizione? Non mi sono mai fidato troppo di wikipedia.. In cosa si differenziano dai punti di accumulazione?
"pater46":
Solo una conferma: una sottosuccessione sarebbe una successione estratta?
E poi.. Per quanto riguarda la topologia dei punti aderenti.. Non ricordo di averla mai trattata. Potete chiarirmi la loro definizione? Non mi sono mai fidato troppo di wikipedia.. In cosa si differenziano dai punti di accumulazione?
Dissonance qualche giorno fa mi ha fatto notare che queste definizioni sono molto libere. Spesso dipendono dagli autori.
Un punto $bar x$ si dice di accumulazione per l'insieme $E$ se in ogni intorno del punto $bar x$ cadono punti di $E$ distinti da $bar x$.
Un punto $bar x$ si dice punto aderente per l'insieme $E$ se in ogni intorno del punto $bar x$ cadono punti di $E$.
Sì, per sottosuccessione intendo successione estratta.
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