Successioni che convergono allo stesso limite

[davide9715]

Buongiorno, spero di non aver sbagliato sezione.

Sia $0
$a_{n+1} = \frac{ a_n+b_n}{2}$ con $n \geq 1$

$b_{n+1} \sqrt{a_nb_n}$ con $n \geq 1$

Dimostrare che $(a_n)$ e $(b_n)$ convergono verso lo stesso limite.

Volevo chiedere dei consigli su come posso procedere.
Ho provato ad usare il Teorema di Césaro-Stolz tuttavia non ho ben capito se soddisfo le ipotesi per poterlo usare, oppure se c'è un altra strada più facile per procedere.

Grazie per l'aiuto

[gugo82]

Sfrutta AMGM per mostrare che $a_n >= b_n$; dopodiché, sfrutta questo fatto per provare che $(b_n)$ è crescente e limitata dall'alto; dopo aver capito che $(b_n)$ converge, sfrutta l'algebra per provare che $a_n$ si può scrivere in funzione di $b_n$ e $b_(n+1)$, di modo che anch'essa converge (lo stesso limite ti viene fuori gratis dai conti).

[gugo82]

@DAVIDE9792: Visto che la discussione pubblica è ben avviata, non vedo a cosa serva contattarmi in privato per sapere se le strategie che hai scelto vanno bene o meno.

Riporto qui il tuo PM, cercando di darvi risposta dove serve:

"DAVIDE9792":Inizio con i ringraziamenti per l'aiuto concreto che mi sta dando .

Prego.

"DAVIDE9792":[quote="gugo82"] Sfrutta AMGM per mostrare che $a_n >= b_n$; dopodiché, sfrutta questo fatto per provare che $(b_n)$
è crescente e limitata dall'alto; dopo aver capito che $(b_n)$ converge,
sfrutta l'algebra per provare che $a_n$ si può scrivere in funzione di $b_n$ e $b_(n+1)$,
di modo che anch'essa converge (lo stesso limite ti viene fuori gratis dai conti).

Provo a scriverle i passaggi che ho fatto e i dubbi che ahime non sono mancati a tardare

Per la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica
$ \sqrt{a_nb_n} \leq \frac{a_n+b_n}{2}$ $ =>$

$b_1\leq b_n \leq \b_{n+1} \leq a_{n+1}\leq a_n \leq a_1$

Per la definizione di successione monotona e per la definizione di successione limitata ho che:
$b_n$ risulta essere monotona crescente e limitata
$a_n$ risulta essere decrescente e limitata

Per il Teorema sull'esistenza dei limiti di successioni monotone

Esiste il limite di $b_n$ $\lim_{n\to +\infty} b_n =$ sup $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$

Esiste il limite $a_n$ ha $\lim_{n\to +\infty} a_n=$ inf ($a_n)_{n\in\mathbb{N}}$[/quote]
Fin qui tutto OK.

"DAVIDE9792":Dubbio: primo riguardo l'utilizzo di questo teorema, secondo questo sarebbe vero $<=>$ inf=sup ?)

Non capisco cosa vuoi dire... Esprimiti meglio.

"DAVIDE9792":Corollario: una successione monotona è convergente se e solo se è limitata.
Quindi $a_n$ e $b_n$ convergono.
Ora vogliamo dimostrare che convergono allo stesso limite.
Non so come riscrivere $a_n$ in funzione di $b_n$ e $b_{n+1}$.

Beh, vedi che puoi fare sfruttando:
\[
b_{n+1} = \sqrt{a_n\cdot b_n}\; \ldots
\]