Successioni!

[Karozzi]

Ciao a tutti ho un serio problema con le successioni.
Se, ad esempio, ho $1/n-n$ e voglio osservarne la limitatezza, devo porlo ad esempio $< -K$ per vedere se è limitato inferiormente.
Non posso utilizzare il limite, perciò svolgo i calcoli e arrivo alla conclusione che $n=(k-sqrt(k^2+4))*1/2$ è la soluzione della mia disequazione di partenza.
Ma quale sarebbe la conclusione??
Significa che da quella mia $n$ in poi sono sempre sotto a questo $-k$?

Parliamone per favore, se qualcuno sa la risposta!

[Gi81]

Allora, tu hai una successione $(a_n)_(n in NN)$ così definita: $a_n = 1/n- n$ per ogni $n$ naturale (escludiamo lo $0$)

Vuoi dimostrare che tale successione è illimitata. Più precisamente, vuoi dimostrare che
\[
\forall K <0 \qquad \exists \bar{n} \in \mathbb{N} \text{ tale che } \forall n> \bar{n} \text{ si ha } a_n \]

Dai calcoli che hai fatto, sembra che hai risolto una equazione di secondo grado.
Ma è inutile. Ragioniamo: $1/n \in (0,1]$ per ogni $n$ naturale. Quindi $1/n-n< -n+1$, giusto?

[Karozzi]

assolutamente si! Quindi mi stai dicendo che se verifico che $-n+1

Cita

Segnala

[Gi81]

Precisamente! Quindi come scegliamo $\bar{n}$?

[Karozzi]

a me, risolvendo l'equazione esce che $n> -k+1$

[Gi81]

Accidenti, che faticaccia che hai fatto a risolvere la disequazione
Però non mi hai detto come va preso $bar(n)$ (tieni presente che $K$ è un reale negativo).
$barn=barn (K)=...$

[Karozzi]

Hehehe te l'ho detto quando si tratta di trarre le conclusioni mi vengono dei grossi dubbi e ho dei seri problemi..
Basta aggiungere $+1$ alla parte reale della disequazione? basta prendere $n> -k+2$ ??
In questo modo avrei, da $n$ in poi, tutti risultati che verificherebbero che $1/n-n

Cita

Segnala

[Gi81]

Ci sei quasi, manca poco.
In sintesi, non voglio $barn>...$, voglio $barn=...$ , cioè l'uguale, non il maggiore.

[Karozzi]

Non saprei proprio come concludere, mi dispiace! Cioè, provando con le sostituzioni va bene anche $n=-k$, per dire.. quindi azzardando direi che va bene qualsiasi $n=-k+x$, dove $x>0$.

[Gi81]

C'è un problema: $K$ non è necessariamente un naturale.
Ma a questo si pone rimedio usando la funzione "parte intera": $barn= [-K] +2$

Ecco, così hai finito

[Karozzi]

Ah ok! Non avevo proprio pensato ad una cosa del genere! Ti ringrazio, un sano confronto era quello che serviva.
GRAZIE MILLE!