Successioni
Ciao a tutti! Scusate avrei bisogno di un aiuto sulle successioni. Ho cercato su internet, su dei libri ma non riesco a capire come si fanno.Non parlo dei limiti però. Ne inserisco due esempi.per entrambe devo definire se hanno massimi/minimi, punti di frontiera,di accumulazione,punti interni/esterni, e se sono insiemi chiusi/aperti o finiti/infiniti.
se qualcuno sa spiegarmi come si devono svolgere gli sarei davvero grata! Grazie in anticipo..
$ A={ x in RR : x=(n-1)/(n+2) , n in NN } $ $ A={ x in RR: x=n/(n+1), n in NN } $
se qualcuno sa spiegarmi come si devono svolgere gli sarei davvero grata! Grazie in anticipo..
$ A={ x in RR : x=(n-1)/(n+2) , n in NN } $ $ A={ x in RR: x=n/(n+1), n in NN } $
Risposte
In generale la prima cosa che il nostro professore di analisi ci faceva osservare era la "struttura" dell'insieme:
in questo caso si deve calcolare il limite della successione e osservare che $\lim_{n \to \infty}a_n=1$
poi occorre studiare la monotonia della successione e cercarca per quali valori di n la successione è crescente (strett. cresc.) o decrescente (strett. decr.). per le successioni studiare la monotonia è semplice perchè basta studiare il rapporto di an con an+1.
in questo caso per esempio possiamo supporre che la successione sia crescente e porre: $\frac{n-1}{n+2}<\frac{(n+1)-1}{(n+1)+2}$
svolgendo i calcoli si dovrebbe arrivare a: -3<0 che è ovviamente vera. quindi la successione è crescente: ciò permette di interpretare il risultato del limite della successione potendo affermare che essa è sicuramente limitata $rArr$ $a_n in [0,1)$ (notare che considero il primo valore di a_n per n=1)
quando diciamo che una successione è limitata non affermiamo che essa ha dei massimi o dei minimi ma che ha solo gli estremi inferiori e superiori per dire che è un minimo o un massimo occorre verificare se tale punto appartiene alla successione ossia se: $EE \bar n t.c. a_(\bar n)=$inf
adesso osserviamo che per $n=1$ si ha $a_n=0$ $rArr$ $0$ è min di $a_n$;
invece lo stesso non si può dire per il sup, risulta infatti: $ \nexists \bar n t.c. a_(\bar n)=1$
un altro modo per verificare se esiste o meno il sup di un insieme può essere il seguente: si deve porre che il sup sia il più piccolo dei maggioranti che implica: $AA epsilon>0 EE \bar n t.c. a_(\bar n)>|l-epsilon|$ (indico con $l$ il sup dell'insieme)
per quanto riguarda gli altri punti non so dirti
in questo caso si deve calcolare il limite della successione e osservare che $\lim_{n \to \infty}a_n=1$
poi occorre studiare la monotonia della successione e cercarca per quali valori di n la successione è crescente (strett. cresc.) o decrescente (strett. decr.). per le successioni studiare la monotonia è semplice perchè basta studiare il rapporto di an con an+1.
in questo caso per esempio possiamo supporre che la successione sia crescente e porre: $\frac{n-1}{n+2}<\frac{(n+1)-1}{(n+1)+2}$
svolgendo i calcoli si dovrebbe arrivare a: -3<0 che è ovviamente vera. quindi la successione è crescente: ciò permette di interpretare il risultato del limite della successione potendo affermare che essa è sicuramente limitata $rArr$ $a_n in [0,1)$ (notare che considero il primo valore di a_n per n=1)
quando diciamo che una successione è limitata non affermiamo che essa ha dei massimi o dei minimi ma che ha solo gli estremi inferiori e superiori per dire che è un minimo o un massimo occorre verificare se tale punto appartiene alla successione ossia se: $EE \bar n t.c. a_(\bar n)=$inf
adesso osserviamo che per $n=1$ si ha $a_n=0$ $rArr$ $0$ è min di $a_n$;
invece lo stesso non si può dire per il sup, risulta infatti: $ \nexists \bar n t.c. a_(\bar n)=1$
un altro modo per verificare se esiste o meno il sup di un insieme può essere il seguente: si deve porre che il sup sia il più piccolo dei maggioranti che implica: $AA epsilon>0 EE \bar n t.c. a_(\bar n)>|l-epsilon|$ (indico con $l$ il sup dell'insieme)
per quanto riguarda gli altri punti non so dirti
P.S. Scusa il ritardo nella risposta ma per scrivere correttamente le formule ho impiegato molto (forse troppo xD) tempo
Grazie per il tuo aiuto....è che io queste cose al liceo non le ho mai fatte e ora faccio economia ma il mio professore non è in grado di spiegare..mi puoi solo dire perchè all'inizio dici che bisogna calcolare il limite di a_n ?e non di n-1/n-2? quindi praticamente in questo modo mi calcolo monotonia e punti di massimo e minimo giusto?
quando scrivo $a_n$ indico la generica successione senza dover scrivere a cosa corrisponde
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