Successioni...
...di funzioni e altro...
Ciao,
un paio di domande:
1) se ho la succ.di funzioni $f_n (x)=sqrt(x^2+1/(n^2))$ è immediato vedere che la funzione limite (la convergenza puntuale) è $|x|$. Come faccio a dire che la convergenza non è uniforme? Lo vorrei fare con $lim_(n->oo) max|f_n (x) - f|$ e verificare che non tende a zero (sarebbe sup e non max, ma non me lo scrive). Però non riesco bene a farlo. Consigli?
2) Se la convergenza è uniforme il limite di un integrale è l'integrale del limite: però anche se non è uniforme c'è un teorema di Lebesgue per cui se vale per ogni n $f_n (x)| <= g(x)$ e f converge puntualmente (in modo assoluto) allora lo scambio fra limite e integrale vale ancora. Però non riesco bene a farlo qua: $lim_(n->oo) int_(0)^(1) ((n^(3/2)*x)/(1+n^2*x^2))*dx$ Come trovo questa funzione g? Il limite dovrebbe fare poi 0 a quanto pare...
Beh grazie a chi mi dà una mano.
Ciao,
un paio di domande:
1) se ho la succ.di funzioni $f_n (x)=sqrt(x^2+1/(n^2))$ è immediato vedere che la funzione limite (la convergenza puntuale) è $|x|$. Come faccio a dire che la convergenza non è uniforme? Lo vorrei fare con $lim_(n->oo) max|f_n (x) - f|$ e verificare che non tende a zero (sarebbe sup e non max, ma non me lo scrive). Però non riesco bene a farlo. Consigli?
2) Se la convergenza è uniforme il limite di un integrale è l'integrale del limite: però anche se non è uniforme c'è un teorema di Lebesgue per cui se vale per ogni n $f_n (x)| <= g(x)$ e f converge puntualmente (in modo assoluto) allora lo scambio fra limite e integrale vale ancora. Però non riesco bene a farlo qua: $lim_(n->oo) int_(0)^(1) ((n^(3/2)*x)/(1+n^2*x^2))*dx$ Come trovo questa funzione g? Il limite dovrebbe fare poi 0 a quanto pare...
Beh grazie a chi mi dà una mano.
Risposte
"kit79":
...di funzioni e altro...
Ciao,
un paio di domande:
1) se ho la succ.di funzioni $f_n (x)=sqrt(x^2+1/(n^2))$ è immediato vedere che la funzione limite (la convergenza puntuale) è $|x|$. Come faccio a dire che la convergenza non è uniforme? Lo vorrei fare con $lim_(n->oo) max|f_n (x) - f|$ e verificare che non tende a zero (sarebbe sup e non max, ma non me lo scrive). Però non riesco bene a farlo. Consigli?
2) Se la convergenza è uniforme il limite di un integrale è l'integrale del limite: però anche se non è uniforme c'è un teorema di Lebesgue per cui se vale per ogni n $f_n (x)| <= g(x)$ e f converge puntualmente (in modo assoluto) allora lo scambio fra limite e integrale vale ancora. Però non riesco bene a farlo qua: $lim_(n->oo) int_(0)^(1) ((n^(3/2)*x)/(1+n^2*x^2))*dx$ Come trovo questa funzione g? Il limite dovrebbe fare poi 0 a quanto pare...
Beh grazie a chi mi dà una mano.
Per quanto riguarda la 1) farei semplicemente la derivata della funzione $sqrt(x^2+1/n^2)-x$ considero solamente la soluzione per $x>0$ visto che la funzione è pari.
La derivata è sempre negativa quindi la funzione avrà come punto di max "$+oo$".
Per il secondo puoi semplicemente svolgere l'integrale, cioè:
$lim_(n->oo) int_(0)^(1) ((n^(3/2)*x)/(1+n^2*x^2))*dx=lim_(n->+oo) (ln(1+n^2)-ln(1))/(2*sqrt(n))$ che per magia è zero...
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