Successioni

[alberto861]

salve a tutti qualcuno saprebbe risolvere il seguente limite: $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{\log(n!)}{n^{\log (n)}}$ grazie in anticipo

[Dorian1]

Con la scrittura $log$ intendi 'logaritmo decimale'?

[Cantaro86]

ho provato a risolvere questo limite per n variabile reale... poi dovrò cercare di ricordarmi come si fa a fare la stessa cosa per $ninNN$

$lim_(ntoinfty)(log(n!))/(n^(logn))$ per la formula di stirling valida per n grande ho che $log(n!)=n(logn-1)=intlogn$

poichè ho una forma $infty/infty$ uso l'Hopital, derivo e vedo che il numeratore cresce con $logn$ mentre il denominatore rimane sempre un esponenziale...per questo direi che il limite è 0...(lo si può vedere derivando ancora)

ma il teorema de l'hopital l'ho usato immaginando n reale.
per n grande la puoi considerare come se fosse reale e quindi continua, ma questo linguaggio non è per niente rigoroso e matematico...

[Dorian1]

"Cantaro86":ho provato a risolvere questo limite per n variabile reale... poi dovrò cercare di ricordarmi come si fa a fare la stessa cosa per $ninNN$

$lim_(ntoinfty)(log(n!))/(n^(logn))$ per la formula di stirling valida per n grande ho che $log(n!)=n(logn-1)=intlogn$

poichè ho una forma $infty/infty$ uso l'Hopital, derivo e vedo che il numeratore cresce con $logn$ mentre il denominatore rimane sempre un esponenziale...per questo direi che il limite è 0...(lo si può vedere derivando ancora)

ma il teorema de l'hopital l'ho usato immaginando n reale.
per n grande la puoi considerare come se fosse reale e quindi continua, ma questo linguaggio non è per niente rigoroso e matematico...

Ho pensato anch'io all'approsimazione di Stirling...
Vedo che hai supposto base $e$...

[Fioravante Patrone1]

"Cantaro86":
ma il teorema de l'hopital l'ho usato immaginando n reale.
per n grande la puoi considerare come se fosse reale e quindi continua, ma questo linguaggio non è per niente rigoroso e matematico...

Se hai dimostrato che, per una funzione reale di variabile reale $f$, il lim per $x -> oo$ esiste e vale $L$, allora esiste e vale $L$ anche il limite (all'infinito) della successione che ottieni restringendo $f$ ai soli naturali. Ovviamente ti serve che la funzione sia definita su $NN$ (o, per lo meno, su tutti i naturali maggiori o uguali di un qualche $\bar n$).
E' conseguenza della caratterizzazione del limite mediante successioni.

NB: non ho controllato nessun conto!

[gugo82]

"alberto86":salve a tutti qualcuno saprebbe risolvere il seguente limite: $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{\log(n!)}{n^{\log (n)}}$ grazie in anticipo

Per noti fatti sui limiti hai $lim (n!)/(n^n)=0$, onde definitivamente risulta $n!le n^n$ (ciò si verifica in realtà per ogni $n in NN$) e perciò $log(n!)le logn^n=n*logn$; ne consegue che $(n!)/(n^(logn))le (n*logn)/(n^(logn))$ definitivamente.
Ora, ponendo $x_n=logn$, trovi $n=e^(x_n)$ ed il secondo membro della precedente disuguaglianza si scrive $(e^(x_n)*x_n)/((e^(x_n))^(x_n))=x_n/(e^(x_n^2-x_n))$; visto che:

$lim_(x to +oo) x/(e^(x^2-x))=0$

e che $lim_n x_n=+oo$, hai pure:

$lim_n x_n/(e^(x_n^2-x_n))=0 quad => quad lim_n (n*logn)/(n^(logn))=0$;

infine, ricordato che $0< (log(n!))/(n^(logn))le (n*logn)/(n^(logn))$, concludi:

$lim_n (log(n!))/(n^(logn))=0$

invocando semplicemente il Teorema dei carabinieri.

[alberto861]

tutto chiarissimo!!grazie ragazzi!!