Successioni
Ciao a tutti, ho un problema di definizioni... Purtroppo libri e file trovati in rete non mi hanno tolto alcuni dubbi..
Allora, una successione è definita come una sequenza ordinata e infinita di oggetti (cioè l'analogo infinito di una $n$-upla).
In analisi invece una successione è una funzione $a:N\rightarrow X$ (con $N$ insieme dei naturali).
Si sarebbe tentati di dire che la prima definizione coincida con l'immagine della seconda; ma questo non è corretto perchè l'immagine di un insieme è un insieme e quindi gli elementi non sono ripetuti e non c'è alcun ordine degli stessi privilegiato.
Cosa è una successione quindi???
Allora, una successione è definita come una sequenza ordinata e infinita di oggetti (cioè l'analogo infinito di una $n$-upla).
In analisi invece una successione è una funzione $a:N\rightarrow X$ (con $N$ insieme dei naturali).
Si sarebbe tentati di dire che la prima definizione coincida con l'immagine della seconda; ma questo non è corretto perchè l'immagine di un insieme è un insieme e quindi gli elementi non sono ripetuti e non c'è alcun ordine degli stessi privilegiato.
Cosa è una successione quindi???
Risposte
Buon di Karima
Una successione è una legge che ad ogni numero naturale associa un numero reale:
$ a: N rarr R $
se $cinN$ allora $a(c)inR$.
In genere si scrive la successione con il simbolo $a_c$ o più comunemente $a_n$.
E' una questione di simbolismo.
Da non confondere la successione con la sua immagine ovvero l' insieme dei valori che la successione assume.
Ma sulla definizione si potrebbe essere precisi .....
Saluti
Mino
Una successione è una legge che ad ogni numero naturale associa un numero reale:
$ a: N rarr R $
se $cinN$ allora $a(c)inR$.
In genere si scrive la successione con il simbolo $a_c$ o più comunemente $a_n$.
E' una questione di simbolismo.
Da non confondere la successione con la sua immagine ovvero l' insieme dei valori che la successione assume.
Ma sulla definizione si potrebbe essere precisi .....
Saluti
Mino
Ciao Mino_01 grazie della risposta, però siamo sempre allo stesso punto.
Come ho detto nei corsi di analisi una successione è una funzione, ma una successione è anche una sequenza di infiniti oggetti.
Cioè quando in genere si parla di successione si intende l'insieme infinito e ordinato delle immagini della successione (funzione) che viene indicata con
$$\{a_{n}\}_{n\geq n_{0}\in N}$$
La domanda è perchè si è usata la stessa parola per due oggetti completamente differenti???
Come ho detto nei corsi di analisi una successione è una funzione, ma una successione è anche una sequenza di infiniti oggetti.
Cioè quando in genere si parla di successione si intende l'insieme infinito e ordinato delle immagini della successione (funzione) che viene indicata con
$$\{a_{n}\}_{n\geq n_{0}\in N}$$
La domanda è perchè si è usata la stessa parola per due oggetti completamente differenti???
Osserva che comunque esistono insiemi infiniti, ordinati tali da non essere immagine di una successione.
Poi possono esistere nomi diversi per indicare il medesimo oggetto matematico, insieme ordinato e infinito (ma potrebbe essere finito) per successione si coinvolgono diversi concetti mentre applicazione di N in R mi sembra semplice e diretto.
Non trovi?
Per esempio in calcolo combinatorio ho trovato il termine disposizione con ripetizione chiamato anche applicazione tra insiemi finiti questo per dire che a volte dipende dal contesto, poi posso sbagliare.
Poi possono esistere nomi diversi per indicare il medesimo oggetto matematico, insieme ordinato e infinito (ma potrebbe essere finito) per successione si coinvolgono diversi concetti mentre applicazione di N in R mi sembra semplice e diretto.
Non trovi?
Per esempio in calcolo combinatorio ho trovato il termine disposizione con ripetizione chiamato anche applicazione tra insiemi finiti questo per dire che a volte dipende dal contesto, poi posso sbagliare.
"Mino_01":
Osserva che comunque esistono insiemi infiniti, ordinati tali da non essere immagine di una successione.
Non ho capito questo remark, francamente. Vuoi forse dire che esistono insiemi infiniti ma non numerabilmente infiniti? Questo è vero e sono d'accordo.
@Karima: E cosa cambia, fondamentalmente, tra il vedere una successione come una funzione con dominio $\mathbb{N}$ e come una lista infinita di oggetti? In realtà, molto poco. La prima definizione è più facile da dare, la seconda un po' meno: inoltre la seconda si presta ad attacchi logici (Cosa è una "lista infinita"? non è facile definirlo senza essere circolari). Tuttavia, la prima definizione è un po' arida dal punto di vista intuitivo, mentre la seconda è molto più prossima alla nostra intuizione. Per cui, si usano allegramente tutte e due le definizioni scegliendo volta per volta quella più confacente alla situazione.
Si
Giusto dissonance
Invero ci sono insiemi infiniti che non sono il codominio di successioni invertibili.
Saluti
Mino
Giusto dissonance
Invero ci sono insiemi infiniti che non sono il codominio di successioni invertibili.
Saluti
Mino
"dissonance":
@Karima: E cosa cambia, fondamentalmente, tra il vedere una successione come una funzione con dominio $\mathbb{N}$ e come una lista infinita di oggetti?
Io trovo che siano esattamente la stessa cosa: successione è lista infinita di oggetti in matematichese.
"Karima":
Allora, una successione è definita come una sequenza ordinata e infinita di oggetti (cioè l'analogo infinito di una $ n $-upla).
In analisi invece una successione è una funzione $ a:N\rightarrow X $ (con $ N $ insieme dei naturali).
Si sarebbe tentati di dire che la prima definizione coincida con l'immagine della seconda; ma questo non è corretto perché l'immagine di un insieme è un insieme e quindi gli elementi non sono ripetuti e non c'è alcun ordine degli stessi privilegiato.
Cosa è una successione quindi???
La prima definizione, usando il linguaggio della seconda, non attribuisce il nome successione all'insieme $a(NN)\subseteq X$ bensì ad $a$, proprio per i motivi di cui parli.
Una cosa è $\{a,b\}$, un'altra è $(a,b)$: quest'ultima è una coppia ordinata, che puoi pensare come una corrispondenza tra $\{1,2\}$ e $\{a,b\}$[nota]Un'alternativa è chiamare coppia ordinata questa roba:
\[(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}\]
In effetti funziona, ma va a finire che
\[(0,0)\stackrel{\text{def}}{=}\{\{0\},\{0,0\}\}=\{\{0\},\{0\}\}=\{\{0\}\}\stackrel{\text{def}}{=}2\in \mathbb{N}\]
(click, alla voce "Altre costruzioni")
[/nota], e che ti permette di distinguere il primo dal secondo elemento, quand'anche questi coincidano ($\{a,a\}=\{a\}$ è diverso da $(a,a)$). Allo stesso modo, una cosa è $a(NN)$, un'altra è la successione, che potresti immaginare come una "$\infty$-upla"."Karima":
Come ho detto nei corsi di analisi una successione è una funzione, ma una successione è anche una sequenza di infiniti oggetti.
Cioè quando in genere si parla di successione si intende l'insieme infinito e ordinato delle immagini della successione (funzione) che viene indicata con
\[ \{a_{n}\}_{n\geq n_{0}\in N} \]
La domanda è perchè si è usata la stessa parola per due oggetti completamente differenti???
Differenti in cosa? La differenza è solo formale, non sostanziale.
Quando parli di "sequenza di elementi di $X$", stai descrivendo un qualcosa in cui è possibile distinguere un elemento dal suo successivo: stai semplicemente mettendo in corrispondenza un sottoinsieme $A$ di $NN$ con $X$; se poi la sequenza è infinita, dovrà esserlo pure $A$. Insomma, stai parlando di un'applicazione $a:A:=\{n\ge n_0\}\subseteq NN \to X$. Viceversa, una applicazione di questo tipo si può pensare come "sequenza/lista infinita di oggetti di $X$".
Ciao
"Karima":
Allora, una successione è definita come una sequenza ordinata e infinita di oggetti (cioè l'analogo infinito di una $n$-upla).
Questa definizione è mal posta: cos'è una sequenza ordinata? Cos'è l'infinito? Esiste un solo infinito? E al contempo cosa significa generalizzare un concetto all'infinito?Appena provi a esprimere queste cose usando la matematica e non termini intuitivi allora ti ritrovi con una funzione da \(\mathbf{N}\) a qualche altro insieme.
Scusate il ritardo!!! Ringrazio tutti voi per l'aiuto!
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