Successione ricorsiva (studio monotonia)
salve a tutti ho un problema su una succesione ricorsiva di questo tipo:
$\{(a_(1)=\lambda),(a_(n+1)=an^(2)+an+e^-an):}$
adesso mi rrcavo la funzione $\phi(t)=t^2+e^-t$ e dovrei studiare la monotonia di questa funzione ma di come potete vedere non riesco a sviluppare la disequazione.Cosa dovrei fare?
grazie!
$\{(a_(1)=\lambda),(a_(n+1)=an^(2)+an+e^-an):}$
adesso mi rrcavo la funzione $\phi(t)=t^2+e^-t$ e dovrei studiare la monotonia di questa funzione ma di come potete vedere non riesco a sviluppare la disequazione.Cosa dovrei fare?
grazie!
Risposte
provo ad aiutarti visto che è lo stesso argomento che sto studiando in questo periodo..spero di non scrivere cose troppo sbagliate..xD
allora tu hai $f(t)=t^2+t+e^(-t)$ che la si può scrivere $f(t)=(e^(t)t^2+e^(t)t+1)/(e^t)$ che è chiaramente positiva per qualsiasi valore di $\lambda$ (quindi è una successione a valori tutti positivi).
per studiare la monotonia basta vedere quando $phi(t)>0$ e cioè quando $phi(t)=t^2+e^(-t)=(e^(t)t^2+1)/e^t>0$ che è chiaramente sempre positiva quindi ne segue che la successione è sempre crescente. Inoltre da $phi(t)=0$ non trovi nessuna soluzione (non ci sono dunque punti fissi) quindi la successione diverge a $+infty$.
allora tu hai $f(t)=t^2+t+e^(-t)$ che la si può scrivere $f(t)=(e^(t)t^2+e^(t)t+1)/(e^t)$ che è chiaramente positiva per qualsiasi valore di $\lambda$ (quindi è una successione a valori tutti positivi).
per studiare la monotonia basta vedere quando $phi(t)>0$ e cioè quando $phi(t)=t^2+e^(-t)=(e^(t)t^2+1)/e^t>0$ che è chiaramente sempre positiva quindi ne segue che la successione è sempre crescente. Inoltre da $phi(t)=0$ non trovi nessuna soluzione (non ci sono dunque punti fissi) quindi la successione diverge a $+infty$.
intanto grazie 
cmq il mio problema sta + che altro capire come la $\phi(t)$ sia SEMPRE positiva nonostante il tuo calcolo artificioso che trasforma la funzione in una frazione.In poche parole non riesco a trovarmi la soluzione della disequazione.
cmq il mio problema sta + che altro capire come la $\phi(t)$ sia SEMPRE positiva nonostante il tuo calcolo artificioso che trasforma la funzione in una frazione.In poche parole non riesco a trovarmi la soluzione della disequazione.
"TommyR22":Non mi pare tanto artificioso. Scrivi $t + t^2 +e^(-t)$ come $t+ t^2 + 1/(e^t)$ e poi sommi.
calcolo artificioso
P.S.: Più che altro non si capisce cosa sia $f$ e cosa sia $phi$. Inoltre qui:
la si può scrivere $f(t)=(e^(t)t^2+e^(t)t+1)/(e^t)$ che è chiaramente positiva per qualsiasi valore di $\lambda$$lambda$? Probabilmente vuoi dire per qualsiasi valore di $t$. In questo caso non è tanto chiaro che la funzione sia sempre positiva. E' vero, ne sono convinto, ma lo devi dimostrare.
si sorry..
cmq $f(t)$ è la funzione $a_n$ mentre $phi(t)$ è $a_n=a_(n+1)$...in parole povere se devi trovare un possibile limite della successione (se converge) avresti che $t$(oppure $l$ o come lo vuoi chiamare) è il limite della tua successione quindi deve risolvere la disequazione $t=f(t)$ (perchè ovviamente se è un limite è pure un punto della successione/funzione che hai). Risolvendo troverai una, due, nessuna soluzione, dipende dalla successione e queste saranno "candidate" a diventare il limite della tua successione (tranne nel caso in cui non ci sono soluzioni - come nel nostro - in cui la successione diverge).
Poi con $phi(t)>0$ non fai altro che risolvere $a_(n+1)>a_n$ e quindi studi così la possibile monotonia della successione o in alternativa vedi dove essa risulta crescente e dove decrescente.
cmq si, quando ho scritto $lambda$ intendevo $lambda=t=a_n$
La dimostrazione di $f(t)>0$ l'ho omessa perchè onestamente ho fatto tutto a mente ad intuito..
cmq $f(t)$ è la funzione $a_n$ mentre $phi(t)$ è $a_n=a_(n+1)$...in parole povere se devi trovare un possibile limite della successione (se converge) avresti che $t$(oppure $l$ o come lo vuoi chiamare) è il limite della tua successione quindi deve risolvere la disequazione $t=f(t)$ (perchè ovviamente se è un limite è pure un punto della successione/funzione che hai). Risolvendo troverai una, due, nessuna soluzione, dipende dalla successione e queste saranno "candidate" a diventare il limite della tua successione (tranne nel caso in cui non ci sono soluzioni - come nel nostro - in cui la successione diverge).
Poi con $phi(t)>0$ non fai altro che risolvere $a_(n+1)>a_n$ e quindi studi così la possibile monotonia della successione o in alternativa vedi dove essa risulta crescente e dove decrescente.
cmq si, quando ho scritto $lambda$ intendevo $lambda=t=a_n$
La dimostrazione di $f(t)>0$ l'ho omessa perchè onestamente ho fatto tutto a mente ad intuito..
Ti consiglio di sforzarti di esprimerti meglio perché a tratti davvero non si capisce cosa vuoi dire.
"Sutekh":Continuo a non capire cosa intendi. $a_n$ non è una funzione della variabile continua $t$, semmai la puoi pensare come una funzione della variabile discreta $n$. Quindi $f(t)=a_n$ non significa nulla.
cmq $f(t)$ è la funzione $a_n$ mentre $phi(t)$ è $a_n=a_(n+1)$...
in parole povere se devi trovare un possibile limite della successione (se converge) avresti che $t$(oppure $l$ o come lo vuoi chiamare) è il limite della tua successione quindi deve risolvere la disequazione $t=f(t)$ (perchè ovviamente se è un limite è pure un punto della successione/funzione che hai).Stai cercando di dire che se $l$ è il limite della successione, allora $l$ è un punto fisso di una certa funzione (che però ancora non si è capito qual è). Ma questo lo riesco a intuire io che già conosco l'argomento, uno che non lo sa non ci capisce nulla. Un altro dettaglio: $t=f(t)$ è una equazione, non una disequazione.
La dimostrazione di $f(t)>0$ l'ho omessa perchè onestamente ho fatto tutto a mente ad intuito..Va benissimo fare così, basta che alla fine tu sia in grado di dimostrare quanto hai intuito. Ma non è più questo il punto, adesso. Il problema sono le incongruenze che ti ho segnalato sopra. Te le faccio notare non per fare il superiore, ma per avvisarti che se ti esprimi così ad un esame un professore di matematica appena appena severo ti boccia in tronco. E poi sospetto che tu stesso non abbia le idee molto chiare sulla teoria, quindi questa potrebbe essere un'occasione per riflettere.
si equazione, non disequazione..non ho riletto quello che ho scritto ma mi sembra ovvio che so la differenza tra equazione e disequazione =P
Cmq mi esprimo così solo perchè mi metto nei panni del nostro amico che ha bisogno di capire questo genere di successioni. Io ho postato diversi topic su queste successioni ma ogni volta mi si venivano scritte cose assurde (per me), perchè il più delle volte cercate di dimostrare l'esercizio come se fosse questo lo scopo di un 3d, mentre ignorate il fatto che se un utente posta un esercizio forse è perchè non ha assimilato bene l'argomento. Se mi risolvi 400 esercizi sulle successioni ma io continuo a non capire che procedimento adotti (perchè non lo postate mai..date il classico "aiutino" o la soluzione finale) non vinci un premio.
Io facendo diversi esercizi e leggendo un po' qui e un po' lì penso di essere in grado di affrontare un esercizio del genere. Non dico di essere un maestro però non credo che mi merito un "E poi sospetto che tu stesso non abbia le idee molto chiare sulla teoria" perchè, come ti ripeto, qui non credo che l'utente che ha bisogno di una mano preferisca avere una lezione di teoria perchè penso che in tal caso farebbe meglio ad aprire un libro. Tra la teoria e la pratica c'è una bella differenza. Se sai fare l'una non è detto che tu sappia fare anche l'altra. Per questo non puoi permetterti di giudicarmi. Ho solo dato il mio intervento per cercare di spiegare con parole più semplici possibili un argomento che spesso non viene capito (lo dico per esperienza personale).
Se non sono stato capito mi dispiace, vorrà dire che ci riproverò o se preferisci scrivi tutto tu citando magari qualche importante matematico.
Cmq mi esprimo così solo perchè mi metto nei panni del nostro amico che ha bisogno di capire questo genere di successioni. Io ho postato diversi topic su queste successioni ma ogni volta mi si venivano scritte cose assurde (per me), perchè il più delle volte cercate di dimostrare l'esercizio come se fosse questo lo scopo di un 3d, mentre ignorate il fatto che se un utente posta un esercizio forse è perchè non ha assimilato bene l'argomento. Se mi risolvi 400 esercizi sulle successioni ma io continuo a non capire che procedimento adotti (perchè non lo postate mai..date il classico "aiutino" o la soluzione finale) non vinci un premio.
Io facendo diversi esercizi e leggendo un po' qui e un po' lì penso di essere in grado di affrontare un esercizio del genere. Non dico di essere un maestro però non credo che mi merito un "E poi sospetto che tu stesso non abbia le idee molto chiare sulla teoria" perchè, come ti ripeto, qui non credo che l'utente che ha bisogno di una mano preferisca avere una lezione di teoria perchè penso che in tal caso farebbe meglio ad aprire un libro. Tra la teoria e la pratica c'è una bella differenza. Se sai fare l'una non è detto che tu sappia fare anche l'altra. Per questo non puoi permetterti di giudicarmi. Ho solo dato il mio intervento per cercare di spiegare con parole più semplici possibili un argomento che spesso non viene capito (lo dico per esperienza personale).
Se non sono stato capito mi dispiace, vorrà dire che ci riproverò o se preferisci scrivi tutto tu citando magari qualche importante matematico.
cmq tornando al discorso sulle successioni, TOMMYR22 quello che io ti consiglio e sempre di fare lo stesso procedimento (anche se qui continuano a sostenere il fatto che bisogna variare il procedimento da successione a successione, quando poi usano sempre le stesse regole) che è:
prendi la legge della successione (in questo caso $a_(n+1)=an^(2)+an+e^-an$) e sostituisci ad $a_n$ $t$, così ti viene anche più semplice da studiare.
Dopodichè vedi dove la successione ha termini positivi e quindi vedi quando $a_(n+1)=an^(2)+an+e^-an>0$ che con la sostituzione appena fatta diventa $f(t)=t^(2)+t+e^-t>0$. Spero che fino a qui hai capito.
A questo punto devi vedere possibili limiti della tua successione (cioè se la successione converge convergerà ad uno dei punti che hai trovato, i punti fissi) e li trovi risolvendo $phi(t)=0$..In base al numero di soluzioni che trovi puoi farti un idea di come si comporti la successione.
Studiando il segno di $phi(t)$ vedi invece in che punti la successione cresca e dove decresca.
*Con $phi(t)=f(t)-t$
A questo punto in base alla posizione di $a_n$ concludi se la successione converge o diverge.
Se ad esempio alla fine hai che $a_n=3$ e $phi(t)>0$ per $0
prendi la legge della successione (in questo caso $a_(n+1)=an^(2)+an+e^-an$) e sostituisci ad $a_n$ $t$, così ti viene anche più semplice da studiare.
Dopodichè vedi dove la successione ha termini positivi e quindi vedi quando $a_(n+1)=an^(2)+an+e^-an>0$ che con la sostituzione appena fatta diventa $f(t)=t^(2)+t+e^-t>0$. Spero che fino a qui hai capito.
A questo punto devi vedere possibili limiti della tua successione (cioè se la successione converge convergerà ad uno dei punti che hai trovato, i punti fissi) e li trovi risolvendo $phi(t)=0$..In base al numero di soluzioni che trovi puoi farti un idea di come si comporti la successione.
Studiando il segno di $phi(t)$ vedi invece in che punti la successione cresca e dove decresca.
*Con $phi(t)=f(t)-t$
A questo punto in base alla posizione di $a_n$ concludi se la successione converge o diverge.
Se ad esempio alla fine hai che $a_n=3$ e $phi(t)>0$ per $0
$a_{n+1} = 6 a_n - a_{n}^2$, $a_1=3$.
???
Volevi un esempio con $\phi(t) > 0$ su $(0,5)$ e $a_1=3$ al quale non si applicasse la tua "teoria".
Eccolo.
Eccolo.
^^
ho dimenticato un particolare (importante)...all'inizio va calcolato il limite della successione tendente ad inifinito..se, come in questo caso, tende a meno infinito la successione o diverge a meno inifinito o converge ad un termine negativo. In questo caso da $phi(t)=0$ trovo solo termini positivi, inoltre da $phi(t)>0$ trovo che la successione è decrescente a partire dai termini negativi quindi concludo che è una successione che diverge a meno inifinito.
A parte questo piccolo dettaglio credo che non sfugga nient'altro da quello schema no?=)
ho dimenticato un particolare (importante)...all'inizio va calcolato il limite della successione tendente ad inifinito..se, come in questo caso, tende a meno infinito la successione o diverge a meno inifinito o converge ad un termine negativo. In questo caso da $phi(t)=0$ trovo solo termini positivi, inoltre da $phi(t)>0$ trovo che la successione è decrescente a partire dai termini negativi quindi concludo che è una successione che diverge a meno inifinito.
A parte questo piccolo dettaglio credo che non sfugga nient'altro da quello schema no?=)
Da quello schema sfugge un sacco di roba...
Se vuoi sapere quanta roba sfugge, fai una piccola ricerca sui sistemi dinamici discreti.
Se vuoi sapere quanta roba sfugge, fai una piccola ricerca sui sistemi dinamici discreti.
diccelo tu cosa sfugge...sono qui per imparare e per dare una mano per quel poco che posso..
Non vorrei correre il rischio di citare qualche grande matematico, come dici tu.
Volevo solo farti notare che spacciare "ricettine" preconfezionate per teoremi dimostrati è rischioso.
Come ha cercato di spiegarti dissonance, lo studio delle successioni definite per ricorrenza (o dei sistemi dinamici discreti, se preferisci) non sempre è banale.
Volevo solo farti notare che spacciare "ricettine" preconfezionate per teoremi dimostrati è rischioso.
Come ha cercato di spiegarti dissonance, lo studio delle successioni definite per ricorrenza (o dei sistemi dinamici discreti, se preferisci) non sempre è banale.
secondo me in qualsiasi genere di esercizio è possibile fare quelle che tu chiami "ricettine"...io ho sempre fatto così, forse sbaglio ma anche no.
Di sicuro stare a ragionare attorno al problema in questione, applicare alla lettere la teoria e poi decidere il procedimento più idoneo è sicuramente il metodo migliore e più "sicuro", però quando in un ora e mezza di esame devi fare 6 esercizi tutti su argomenti diversi penso proprio che i ragionamenti puoi anche evitarli, meglio lavorare roboticamente almeno si ha la certezza di non sprecare tempo. Poi se il tuo prof ti da la materia se riesci a fare benissimo un esercizio su 6 però in quell'esercizio hai applicato la teoria alla lettera allora continua così, ma nel mio caso se non faccio almeno 4 esercizi non passo quindi non ho tempo per ricordarmi tutti i teoremi e poi ad uno ad uno valutare quale sia il migliore. Per questo cercavo di fare uno schemino, ma come vedo qui avete quasi tutti un'autostima tale da non VOLER aiutare gli altri. Molti di voi risolvono gli esercizi solo per sentirsi migliori forse, o semplicemente per dimostrare di avere conoscenze maggiori. La tua critica gratuita per niente costruttiva ne è la dimostrazione.
Mi dispiace solo per Tommy che alla fine non è riuscito (credo) a capire come diamine si risolvono queste benedette successioni, io ci ho provato ma a quanto pare ho fallito =( mi dispiace tommy
Di sicuro stare a ragionare attorno al problema in questione, applicare alla lettere la teoria e poi decidere il procedimento più idoneo è sicuramente il metodo migliore e più "sicuro", però quando in un ora e mezza di esame devi fare 6 esercizi tutti su argomenti diversi penso proprio che i ragionamenti puoi anche evitarli, meglio lavorare roboticamente almeno si ha la certezza di non sprecare tempo. Poi se il tuo prof ti da la materia se riesci a fare benissimo un esercizio su 6 però in quell'esercizio hai applicato la teoria alla lettera allora continua così, ma nel mio caso se non faccio almeno 4 esercizi non passo quindi non ho tempo per ricordarmi tutti i teoremi e poi ad uno ad uno valutare quale sia il migliore. Per questo cercavo di fare uno schemino, ma come vedo qui avete quasi tutti un'autostima tale da non VOLER aiutare gli altri. Molti di voi risolvono gli esercizi solo per sentirsi migliori forse, o semplicemente per dimostrare di avere conoscenze maggiori. La tua critica gratuita per niente costruttiva ne è la dimostrazione.
Mi dispiace solo per Tommy che alla fine non è riuscito (credo) a capire come diamine si risolvono queste benedette successioni, io ci ho provato ma a quanto pare ho fallito =( mi dispiace tommy
Il tuo punto di vista è chiaro.
Si tratta eventualmente di discutere a cosa serva un esame universitario.
Se lo scopo è superare l'esame nel minor tempo possibile, massimizzando il voto, probabilmente il tuo è l'approccio migliore (da un punto di vista probabilistico funziona bene, gli esercizi in fondo sono sempre gli stessi...).
Se lo scopo è anche capire e imparare qualcosa, permettimi di dissentire.
Si tratta eventualmente di discutere a cosa serva un esame universitario.
Se lo scopo è superare l'esame nel minor tempo possibile, massimizzando il voto, probabilmente il tuo è l'approccio migliore (da un punto di vista probabilistico funziona bene, gli esercizi in fondo sono sempre gli stessi...).
Se lo scopo è anche capire e imparare qualcosa, permettimi di dissentire.
Ma puoi pensarla come ti pare..so solo che io per fare come fai tu ho perso tempo ed esami, e ho visto gente che non sa un cavolo di matematica passare esami e superarmi quindi se ci permetti ormai faccio così. Poi le conoscenze le dimostro all'orale, non dico che bisogna passare l'esame senza sapere cosa si fa, ma dico solo che se uno ha più conoscenze e vede qualcuno in difficoltà può facilitargli l'esame con delle regole semplici ma di sicura efficacia.
E poi non parliamo dell'utilità degli esami perchè ormai il sistema universitario fa schifo.
E poi non parliamo dell'utilità degli esami perchè ormai il sistema universitario fa schifo.
grazie a tutti del vostro aiuto.Nonostante tutto anche senza l'aiuto di un professore sono riuscito a capire queste benedette successioni.Sutekh il problema in questo esercizio era abbastanza banale e non riuscivo proprio a trovarlo
in ogni caso ho capito bene come procedere su questi tipi di esercizi( mi aiuto moltissimo con il grafico a "ragnatela" , così le cose vengono moolto più facili )
la difficoltà sta + che altro nello studio della funzione ( almeno negli esercizi del mio prof. ).Infatti mi sono imbattuto in funzioni dove era abbastanza difficile calcolare la monotonia, quindi parlando col mio prof. questo mi ha spiegato di studiare $\phi(t)$ in modo generico cioè Dominio,Limiti,Derivate...tracciare il grafico e calcolare appunto il limite.
Sutekh se hai esercizi sulle successioni puoi passarmele tramite pm così li risolvo e confronto i risultati coi tuoi?
in ogni caso ho capito bene come procedere su questi tipi di esercizi( mi aiuto moltissimo con il grafico a "ragnatela" , così le cose vengono moolto più facili )
la difficoltà sta + che altro nello studio della funzione ( almeno negli esercizi del mio prof. ).Infatti mi sono imbattuto in funzioni dove era abbastanza difficile calcolare la monotonia, quindi parlando col mio prof. questo mi ha spiegato di studiare $\phi(t)$ in modo generico cioè Dominio,Limiti,Derivate...tracciare il grafico e calcolare appunto il limite.
Sutekh se hai esercizi sulle successioni puoi passarmele tramite pm così li risolvo e confronto i risultati coi tuoi?
si certo ^^
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