Successione ricorsiva

[Frink88]

Buongiorno a tutti, potresti dare un occhiata al mio svolgimento del seguente esercizio ed eventualmente qualche consiglio?
Discutere il carattere della seguente successione definita per ricorrenza: $a_o=alpha, a_(n+1)=8/a_n^2, alpha ne 0, n>=0$
Intanto noto che $a_1$ non tiene conto del segno di $a_0$ ovvero partento da $alpha$ o da $-alpha$ succede la stessa cosa.
Inoltre ottengo 2 come punto fisso quindi se $a_n$ converge allora converge a $2$.
Considero quindi $alpha>0$
se $alpha=2 Rightarrow a_n=2 forall n Rightarrow lim_(n rightarrow +infty) a_n=2$
se $alpha>2$ noto che per esempio per $alpha=4$ ho $a_0=4, a_1=1/2, a_2=24, a_3=8/24^2,...$ ovvero che $a_(2n)$ sembra essere crescente mentre $a_(2n+1)$ decrescente, se così fosse $a_n$ non ammetterebbe limite, provo a dimostrarlo:

$a_(2n)$ crescente $Leftrightarrow a_(2n)<=a_(2n+2)$
Ora $a_(2n+2)=8/a_(2n+1)^2=8/(8/a_(2n)^2)^2=a_(2n)^4/8=a_(2n)^3/8*a_(2n)$
$Rightarrow a_(2n)<=a_(2n)^3/8*a_(2n)$ essendo $a_(2n)>2 Leftrightarrow a_(2n)^3>8 Leftrightarrow a_(2n)^3/8>1 Rightarrow a_n$ è crescente
Ho però dimostrato assumendo come ovvio che $a_(2n)>2$, avrei dovuto dimostrarlo prima?
Per induzione ho
BASE: $a_0>2$ sempre vera perchè $a_0=alpha$ e $alpha>2$
PASSO:devo dimostrare che $a_(2n)>2 Rightarrow a_(2n+2)>2$ ed essendo $a_(2n+2)=a_(2n)^4/8$ per Hp induttiva $a_(2n)>2 Leftrightarrow a_(2n)^4>16 Leftrightarrow a_(2n)^4/8>2$
Ho dimostrato $a_(2n)>2$

Allo stesso modo dimostro che $a_(2n+1)<=a_(2n+3)$ ovvero che $a_(2n+1)$ è descrescente essendo $a_(2n+1)<2$

Deduco quindi che $a_n$ non ammette limite

se $0

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Risposte

otta96

12 gen 2019, 14:47

"Frink88":Ho però dimostrato assumendo come ovvio che $a_(2n)>2$, avrei dovuto dimostrarlo prima?

L'importante è farlo prima o poi
Tra la due comunque meglio farlo prima.

Allo stesso modo dimostro che $a_(2n+1)<=a_(2n+3)$ ovvero che $a_(2n+1)$ è descrescente essendo $a_(2n+1)<2$

Deduco quindi che $a_n$ non ammette limite

Giusto.

se $0
Un modo più elegante per concludere sarebbe quello di dire che se $02$, a cui applichi il risultato appena dimostrato.

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Frink88

22 gen 2019, 21:34

Grazie otta! In effetti è molto più elegante

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[otta96]

"Frink88":Ho però dimostrato assumendo come ovvio che $a_(2n)>2$, avrei dovuto dimostrarlo prima?

L'importante è farlo prima o poi
Tra la due comunque meglio farlo prima.

Allo stesso modo dimostro che $a_(2n+1)<=a_(2n+3)$ ovvero che $a_(2n+1)$ è descrescente essendo $a_(2n+1)<2$

Deduco quindi che $a_n$ non ammette limite

Giusto.

se $0
Un modo più elegante per concludere sarebbe quello di dire che se $02$, a cui applichi il risultato appena dimostrato.

[Frink88]

Grazie otta! In effetti è molto più elegante