Successione ricorsiva
Salve, Sia la successione $an$ con $a1=sqrt(2)$ e $a(n+1)=sqrt(2+sqrt(an)))$ l'esercizio richiede di stabilire la convergenza di $an$ e calcolarne il limite.
Si nota che la successione è monotona crescente e provando a mettere i valori alll'interno la successione dovrebbe convergere ad un valore approssimato di circa "1,83".
Per prima cosa volevo calcolare il limite ma non capisco come, chi mi può aiutare ???
Si nota che la successione è monotona crescente e provando a mettere i valori alll'interno la successione dovrebbe convergere ad un valore approssimato di circa "1,83".
Per prima cosa volevo calcolare il limite ma non capisco come, chi mi può aiutare ???
Risposte
Piccoli hint :
Se $a_n -> l => a_(n+1) -> l$ , sei d'accordo?
Bene , se tale limite esiste deve soddisfare questa equazione :$ l = \sqrt(2+\sqrt(l))$
$l=-\infty$ lo escluderei. Notando che $a_n>=0 , AA n \in NN$ (provalo per induzione)
avremo certamente che $l>=0$
dunque i casi sono 2
1) $ l \in RR$
2) la successione non ammette limite.
3) $l=+\infty$.
Domanda : Quella successione è monotona?
Se $a_n -> l => a_(n+1) -> l$ , sei d'accordo?
Bene , se tale limite esiste deve soddisfare questa equazione :$ l = \sqrt(2+\sqrt(l))$
$l=-\infty$ lo escluderei. Notando che $a_n>=0 , AA n \in NN$ (provalo per induzione)
avremo certamente che $l>=0$
dunque i casi sono 2
1) $ l \in RR$
2) la successione non ammette limite.
3) $l=+\infty$.
Domanda : Quella successione è monotona?
Si sono d'accordo con tutto, comunque la successione mi pare che sia monotona crescente giusto ?? il problema è che non riesco a determinarne il limite a cui converge, perchè si ha se il limite esiste:$l=sqrt(2+sqrt(l)) $ ed elevando tutto al quadrato verrebbe: $l^2=2+sqrt(l)$ e da qui non so come andare avanti
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