Successione ricorrente

[maia86]

data la successione ricorrente definita da.

$a_0=0, a_(n+1)=sqrt(1+3a_n)$

Stabilire se converge ed eventualmente calcolarne il limite

[deserto1]

Dobbiamo studiare la convergenza o divergenza di

$\{(a_0=0),(a_(n+1)=sqrt(1+3a_n)):}$

Studiamo la monotonia della successione $(a_n)$

E' $a_(n+1)>a_n hArr sqrt(1+3a_n)>a_n hArr 1+3a_n>a_n^2 hArr a_n^2-3a_n-1<0 hArr (3-sqrt(13))/2
E' chiaro che è $0<=a_n AA n in NN$

Per induzione proviamo che risulta $a_n<(3+sqrt(13))/2 AA n in NN$

Infatti è $a_0=0<(3+sqrt(13))/2$

Supponiamo che sia $a_n<(3+sqrt(13))/2$, si ha: $a_(n+1)-(3+sqrt(13))/2=sqrt(1+3a_n)-(3+sqrt(13))/2
Pertanto la successione $(a_n)$ è strettamente crescente e superiormente limitata da $(3+sqrt(13))/2$, pertanto essa CONVERGE ad un numero reale minore o uguale a $(3+sqrt(13))/2$

Detto $\xi$ tale limite si ha passando al limite per $nrarr+\infty$: $\xi=sqrt(1+3\xi)$, da cui con rapidi passaggi: $\xi=(3+sqrt(13))/2$