Successione positivamente divergente-->Successione inf. limitata
Ciao ragazzi il mio Prof. ha enunciato questo teorema :
Ogni successione positivamente divergente è inferiormente limitata e superiormente non limitata.
Ora nella dimostrazione:
Poichè $ lim_n a_n=+oo $
$ AA k in R $ $ x_n > k $ $ AA n>nu _k $
e pertanto la funzione non possiede maggioranti e fin qui ci siamo.
Ora per quanto riguarda il fatto che sia inferiormente limitata come lo dimostro?
Ogni successione positivamente divergente è inferiormente limitata e superiormente non limitata.
Ora nella dimostrazione:
Poichè $ lim_n a_n=+oo $
$ AA k in R $ $ x_n > k $ $ AA n>nu _k $
e pertanto la funzione non possiede maggioranti e fin qui ci siamo.
Ora per quanto riguarda il fatto che sia inferiormente limitata come lo dimostro?
Risposte
Ciao bravapersona 
,
è la mia prima risposta quindi perdonami se non sono abbastanza chiaro o esauriente.
Ad ogni modo cercherò di aiutarti
Come anche tu hai scritto la successione diverge cioè:
$ \forall M>0 \exists N>0 : \forall n\geqN \rightarrow x_n\geqM $
Quindi $ x_n $ è definitivamente maggiore di M per tutti gli n $ \geq $ N ma allora tutti gli n
Allora $ \forall m
Spero di non aver fatto errori e di esserti stato utile!
,è la mia prima risposta quindi perdonami se non sono abbastanza chiaro o esauriente.
Ad ogni modo cercherò di aiutarti
Come anche tu hai scritto la successione diverge cioè:
$ \forall M>0 \exists N>0 : \forall n\geqN \rightarrow x_n\geqM $
Quindi $ x_n $ è definitivamente maggiore di M per tutti gli n $ \geq $ N ma allora tutti gli n
Allora $ \forall m
Spero di non aver fatto errori e di esserti stato utile!
Grazie della risposta ma ti vorrei far notare una cosa:
quando affermi
Stai supponendo implicitamente che questa distanza sia finita e che quindi la successione sia inferiormente limitata.
quando affermi
Considera ora questi elementi e sia r ≡ max{d(xN,xm)} "in pratica prendi la distanza massima tra gli elementi che ti sono rimasti".
Stai supponendo implicitamente che questa distanza sia finita e che quindi la successione sia inferiormente limitata.
Scusate se uppo il post ma il 20 ho l'esame di analisi
E cosa sarebbe una distanza "infinita" ?
La quantità dei termini è finita, le distanze pure ...
La quantità dei termini è finita, le distanze pure ...
Noi dobbiamo implicitamente dimostrare che la nostra funzione non va contemporanemanete a + infinito e - infinito. Se io suppungo che la distanza sia finita suppongo anche che non vada a - infinito la funzione.
Ripeto: che cos'è una distanza "infinita" (o "non finita" o differente da "finita")? Riesci a definirla?
Per me una distanza è sempre "finita" ovvero in questo caso è sempre un numero reale dato dalla differenza (in valore assoluto) tra due numeri reali ...
Per me una distanza è sempre "finita" ovvero in questo caso è sempre un numero reale dato dalla differenza (in valore assoluto) tra due numeri reali ...
Mi dispiace abusare della tua pazienza però ascolta..
Noi vogliamo dimostrare che la successione non può andare sia a che a $+oo$.
Ora se tu dici
stai supponendo implicitamente che la successione non vada a $-oo$ che è invece la cosa che devi dimostrare..Non so se mi sono spiegato...
Noi vogliamo dimostrare che la successione non può andare sia a che a $+oo$.
Ora se tu dici
Considera ora questi elementi e sia r ≡ max{d(xN,xm)} "in pratica prendi la distanza massima tra gli elementi che ti sono rimasti".
stai supponendo implicitamente che la successione non vada a $-oo$ che è invece la cosa che devi dimostrare..Non so se mi sono spiegato...
Premesso che quello non l'ho scritto io ( 
), ricordati che hai a che fare con una successione cioè una lista ordinata di numeri (reali in questo caso), dove hai un primo elemento, un secondo elemento, un terzo elemento e così via ...
Come diceva Pietro più sopra dire che una successione tende a $+infty$ significa che preso un $M>0$ grande a piacere, esiste sempre un indice $n_0$ tale per cui tutti gli elementi della successione con indice $n>n_0$ saranno maggiori di $M$ e cioè $a_n>M$.
Invece degli elementi con indice $k<=n_0$ (cioè $a_1, a_2, ..., a_(n_0)$) apparentemente nulla sappiamo .... possiamo dire però che sono in numeri finito (pari a $n_0$) e che il loro insieme è limitato, sia superiormente che inferiormente (che è quello che a noi interessa).
Ora, ci sono molti modi per dimostrare questo (penso "il principio del buon ordinamento" dei naturali sia il più naturale ... ) ma così sui due piedi farei così ...
Come detto il nostro insieme $a_1, a_2, ..., a_(n_0)$ è ordinato perciò partendo dal primo termine $a_1$ è sempre possibile (per la proprietà archimedea dei reali) trovare un numero $M_1$ tale che $|a_1|
Cordialmente, Alex
), ricordati che hai a che fare con una successione cioè una lista ordinata di numeri (reali in questo caso), dove hai un primo elemento, un secondo elemento, un terzo elemento e così via ...Come diceva Pietro più sopra dire che una successione tende a $+infty$ significa che preso un $M>0$ grande a piacere, esiste sempre un indice $n_0$ tale per cui tutti gli elementi della successione con indice $n>n_0$ saranno maggiori di $M$ e cioè $a_n>M$.
Invece degli elementi con indice $k<=n_0$ (cioè $a_1, a_2, ..., a_(n_0)$) apparentemente nulla sappiamo .... possiamo dire però che sono in numeri finito (pari a $n_0$) e che il loro insieme è limitato, sia superiormente che inferiormente (che è quello che a noi interessa).
Ora, ci sono molti modi per dimostrare questo (penso "il principio del buon ordinamento" dei naturali sia il più naturale ...
) ma così sui due piedi farei così ...Come detto il nostro insieme $a_1, a_2, ..., a_(n_0)$ è ordinato perciò partendo dal primo termine $a_1$ è sempre possibile (per la proprietà archimedea dei reali) trovare un numero $M_1$ tale che $|a_1|
Cordialmente, Alex
Va bene grazie mille ad entrambi!!!
Ripulisco un po' la dimostrazione proposta da axpgn.
Dobbiamo mostrare che, nell'ipotesi di divergenza a $+oo$, l'insieme $\{a_n\}_{n\in \NN}$ (formato da tutti gli elementi della successione) è dotato di almeno un minorante.
Dato che $a_n -> +oo$, in corrispondenza di $k=1$ possiamo determinare un indice $\nu_1\in \NN$ tale che:
\[
\forall n>\nu_1,\ a_n > 1\; .
\]
Ciò significa che $1$ è un minorante dell'insieme infinito $\{a_n\}_{n>\nu_1}$ (costituito dagli elementi della successione corrispondenti agli indici maggiori di $\nu_1$).
Per terminare la dimostrazione basta far vedere che anche l'insieme degli elementi rimasti "fuori" dalla precedente minorazione ha un minorante. Ma ciò è banale poiché, essendo tale insieme finito (infatti, esso contiene gli elementi $a_1$, $a_2$, ..., $a_{\nu_1}$), esso è dotato di minimo e, detto $m$ tale minimo, si ha:
\[
\forall n\leq \nu_1,\ a_n\geq m\; .
\]
Conseguentemente, l'insieme $\{a_n\}_{n\in \NN}$ è limitato inferiormente, essendo l'unione di due insiemi aventi tale proprietà. Più formalmente, posto $l=\min \{1,m\}$, hai:
\[
\left. \begin{split} \forall n>\nu_1,\ a_n &> 1 \geq l\\ \forall n\leq \nu_1,\ a_n &\geq m \geq l \end{split} \right\}\quad \Rightarrow \quad \forall n\in \mathbb{N},\ a_n\geq l
\]
sicché $l$ è un minorante dell'insieme $\{a_n\}_{n\in \NN}$.
Dobbiamo mostrare che, nell'ipotesi di divergenza a $+oo$, l'insieme $\{a_n\}_{n\in \NN}$ (formato da tutti gli elementi della successione) è dotato di almeno un minorante.
Dato che $a_n -> +oo$, in corrispondenza di $k=1$ possiamo determinare un indice $\nu_1\in \NN$ tale che:
\[
\forall n>\nu_1,\ a_n > 1\; .
\]
Ciò significa che $1$ è un minorante dell'insieme infinito $\{a_n\}_{n>\nu_1}$ (costituito dagli elementi della successione corrispondenti agli indici maggiori di $\nu_1$).
Per terminare la dimostrazione basta far vedere che anche l'insieme degli elementi rimasti "fuori" dalla precedente minorazione ha un minorante. Ma ciò è banale poiché, essendo tale insieme finito (infatti, esso contiene gli elementi $a_1$, $a_2$, ..., $a_{\nu_1}$), esso è dotato di minimo e, detto $m$ tale minimo, si ha:
\[
\forall n\leq \nu_1,\ a_n\geq m\; .
\]
Conseguentemente, l'insieme $\{a_n\}_{n\in \NN}$ è limitato inferiormente, essendo l'unione di due insiemi aventi tale proprietà. Più formalmente, posto $l=\min \{1,m\}$, hai:
\[
\left. \begin{split} \forall n>\nu_1,\ a_n &> 1 \geq l\\ \forall n\leq \nu_1,\ a_n &\geq m \geq l \end{split} \right\}\quad \Rightarrow \quad \forall n\in \mathbb{N},\ a_n\geq l
\]
sicché $l$ è un minorante dell'insieme $\{a_n\}_{n\in \NN}$.
Grazie
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