Successione per ricorrenza difficile

[_Matteo_C1]

Ciao a tutti. Voglio contare quanti sono i modi possibili per moltiplicare $N$ elementi.
Ad esempio, dati $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, posso moltiplicarli in 5 modi:
1) $ x_1 ( x_2 ( x_3 x_4) )$
2) $ x_1 ( (x_2 x_3) x_4) $
3) $ (x_1 x_2)(x_3 x_4) $
4) $ ( (x_1 x_2) x_3) x_4 $
5) $ (x_1 (x_2 x_3)) x_4 $

Considerando $N$ elementi, sono arrivato a dire che il numero $#_N$ di modi possibile è dato dalla seguente espressione:

$#_(N=2k) = (2k-1){2\sum_{i=1}^k #_i #_{2k-i} - #_k#_k}$
$ #_(N=2k+1) = 2k{2\sum_{i=1}^k #_i #_{2k+1-i)} $
L'algoritmo che ho pensato per fare il conteggio è:
- conto in quanti modi posso dividere la stringa in due(sono $N-1$)
- per ognuna di queste stringhe "divise in due" faccio di nuovo il conteggio sulle sotto stringhe.

Il conteggio viene abbastanza veloce per ogni numero finito, ma come si fa a trovare una formula a partire dalla successione che ho scritto prima?

[gugo82]

Non è vero che puoi moltiplicarli solo in quei modi lì... Ad esempio, potresti fare \(x_2\cdot (x_1\cdot (x_4\cdot x_3))\), che non è elencato.

In generale, il numero di possibili moltiplicazioni è uguale a quello delle loro permutazioni, quindi i determina facilmente.

[_Matteo_C1]

Ciao gugo! Mi sono dimenticato di specificare che il problema sta considerando una moltiplicazione non commutativa
Vuole sapere in quanti modi è possibile moltiplicare $N$ elementi utilizzando la proprietà associativa, in modo da avere lo stesso prodotto.