Successione per ricorrenza al variare del parametro iniziale
Salve!
Esercitandomi, mi rendo conto di avere difficoltà nello studio delle successioni per ricorrenza al variare del parametro iniziale. Potreste aiutarmi nello studio della seguente successione, così che io possa prenderla come esempio per fare le altre?
$ {( a_0=alpha ),( a_(n+1)=sqrt(2a_n+1)+2):} $
Tale successione va studiata al variare di $ alpha >=0 $
Il mio ragionamento:
Innanzitutto, se pongo $ f(x)=sqrt(2x+1)+2 $ , studio $ x=f(x) $, che ha come soluzioni $ x=3+-sqrt(6) $ . Se il limite è reale, dovrà per forza essere uno di questi due valori (entrambi sono maggiori di 0, quindi, ahimè, non posso escludere nessuno dei due). Altrimenti, se diverge, il limite sarà $ +oo $ perché la successione è a soli termini positivi.
Adesso voglio vedere quando la funzione è crescente e quando decrescente. Per farlo, pongo $ a_(n+1)>a_n $ , ovvero $ f(f(x))>f(x) $, e ottengo come risultato $ x<(5+2sqrt(5))/2 $ , il che significa che, se prendo $ alpha <(5+2sqrt(5))/2 $ la successione sarà crescente, altrimenti decrescente.
Ma ora mi piacerebbe far vedere quale effettivamente è il limite per i diversi valori di $ alpha $ , e non so come procedere
(Direi di poter escludere $ +oo $ perché, qualora la successione fosse crescente, se questa per assurdo dovesse superare il valore $ (5+2sqrt(5))/2 $, sarebbe costretta a decrescere per quanto detto prima).
Esercitandomi, mi rendo conto di avere difficoltà nello studio delle successioni per ricorrenza al variare del parametro iniziale. Potreste aiutarmi nello studio della seguente successione, così che io possa prenderla come esempio per fare le altre?
$ {( a_0=alpha ),( a_(n+1)=sqrt(2a_n+1)+2):} $
Tale successione va studiata al variare di $ alpha >=0 $
Il mio ragionamento:
Innanzitutto, se pongo $ f(x)=sqrt(2x+1)+2 $ , studio $ x=f(x) $, che ha come soluzioni $ x=3+-sqrt(6) $ . Se il limite è reale, dovrà per forza essere uno di questi due valori (entrambi sono maggiori di 0, quindi, ahimè, non posso escludere nessuno dei due). Altrimenti, se diverge, il limite sarà $ +oo $ perché la successione è a soli termini positivi.
Adesso voglio vedere quando la funzione è crescente e quando decrescente. Per farlo, pongo $ a_(n+1)>a_n $ , ovvero $ f(f(x))>f(x) $, e ottengo come risultato $ x<(5+2sqrt(5))/2 $ , il che significa che, se prendo $ alpha <(5+2sqrt(5))/2 $ la successione sarà crescente, altrimenti decrescente.
Ma ora mi piacerebbe far vedere quale effettivamente è il limite per i diversi valori di $ alpha $ , e non so come procedere
(Direi di poter escludere $ +oo $ perché, qualora la successione fosse crescente, se questa per assurdo dovesse superare il valore $ (5+2sqrt(5))/2 $, sarebbe costretta a decrescere per quanto detto prima).
Risposte
premetto che le successioni ricorsive non sono il mio forte
però, il limite della successione, se è convergente, non può essere $ 3-sqrt6 <2$ perchè ogni termine della successione è maggiore o uguale a $2$
però, il limite della successione, se è convergente, non può essere $ 3-sqrt6 <2$ perchè ogni termine della successione è maggiore o uguale a $2$
Innanzitutto, la successione è definita per $alpha >= -1/2$ e per tali valori del parametro i suoi termini sono $>0$ dall’indice $n=1$ in poi (quindi o prendiamo $alpha >=0$ o prendiamo $alpha >=-1/2$ è la stessa cosa, a patto di tralasciare il primo termine).
La funzione a secondo membro, $f(x) = sqrt(2x + 1) + 2$, ha come punti fissi le soluzioni dell’equazione:
$sqrt(2x + 1) + 2 = x <=> \{(x >= 2), (2x + 1 = x^2 - 4x + 4):} <=> \{( x >= 2), (x^2 - 6x + 3 = 0):} <=> x = 3 + sqrt(6)$
quindi:
La funzione a secondo membro, $f(x) = sqrt(2x + 1) + 2$, ha come punti fissi le soluzioni dell’equazione:
$sqrt(2x + 1) + 2 = x <=> \{(x >= 2), (2x + 1 = x^2 - 4x + 4):} <=> \{( x >= 2), (x^2 - 6x + 3 = 0):} <=> x = 3 + sqrt(6)$
quindi:
- [*:15st08i7] l’unica soluzione costante della ricorrenza si ottiene per $alpha = 3 + sqrt(6)$;
[/*:m:15st08i7]
[*:15st08i7] l’unico valore finito possibile per il limite di una successione definita dalla ricorrenza è $l=3+sqrt(6)$.[/*:m:15st08i7][/list:u:15st08i7]
La successione definita per ricorrenza è crescente [risp. definitivamente crescente] solo se risulta $f(a_n) >= a_n$ per ogni $n in NN$ [risp. per $n >nu$]; ciò accade sicuramente quando $a_n$ cade nell’insieme delle soluzioni della disequazione:
$f(x) >= x <=> sqrt(2x + 1) + 2 >= x <=> \{(x >= 2), (2x + 1 >= x^2 - 4x + 4):} vv -1/2 <= x < 2 <=> \{(x >= 2), (x^2 - 6x + 3<=0):} vv - 1/2 <= x < 2 <=> -1/2 <= x <= 3 + sqrt(6)$.
Quindi per ottenere crescenza[nota]O robiola, se ti piace di più…
[/nota] occorre mostrare che $-1/2 <= a_n <= 3 + sqrt(6)$. La prima disuguaglianza è ovvia, ma la seconda no e va provata.Supponiamo che $a_n <= 3+sqrt(6)$ e mostriamo che $a_(n+1) <= 3+ sqrt(6)$; abbiamo:
$a_(n+1) = sqrt(2a_n + 1) + 2 <= sqrt(2(3+sqrt(6)) +1) + 2 = sqrt(7 + sqrt(24)) + 2 = sqrt(6) + 3$
(per passare dal penultimo all’ultimo membro ho usato la famigerata formula del radicale doppio), come volevamo. Visto che il passo induttivo funziona, è chiaro che appena si fissa $alpha <= 3 + sqrt(6)$ si ottiene una successione crescente (strettamente se vale $<$).
Dunque:
- [*:15st08i7] se $-1/2 <= alpha < 3 + sqrt(6)$ la successione è strettamente crescente e limitata dall’alto, dunque converge ad $l = 3 + sqrt(6)$.[/*:m:15st08i7][/list:u:15st08i7]
Analogamente, $a_n$ è decrescente solo se esso cade nell’insieme delle soluzioni di $f(x) <= x$, i.e. $x>=3+sqrt(6)$.
Si vede con la stessa tecnica usata sopra che $a_n > 3 + sqrt(6) => a_(n+1) > 3+sqrt(6)$, quindi:
- [*:15st08i7] se $ alpha > 3 + sqrt(6)$ la successione è strettamente decrescente e limitata dal basso, dunque converge ad $l = 3 + sqrt(6)$.[/*:m:15st08i7][/list:u:15st08i7]
E questo è.
Tutto chiarissimo, grazie! 
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