Successione per ricorrenza

[alle.fabbri]

Ciao a tutti.
Sono un po' arrugginito e quindi scusate se la domanda potrà risultare sciocca...
Devo calcolare il limite per $n-> \infty$ della successione definita dalla relazione ricorsiva
$R_n = (A+R_{n-1})/(B+R_{n-1})$
$R_0 = 1$
ci sono dei criteri generali per le forme frazionarie? Proprio momento di vuoto assoluto e anche su internet non ho trovato granchè per quanto riguarda il calcolo del limite...
Grazie.

[gugo82]

Se sei riuscito a stebilire che la successione definita per ricorrenza è regolare, allora passando al limite ambo i membri trovi:

[tex]$R=\frac{A+R}{B+R}$[/tex]

ove [tex]$R=\lim_n R_n$[/tex]; ora ti basta risolvere l'equazione precedente rispetto a [tex]$R$[/tex] per conoscere gli eventuali limiti possibili per [tex]$(R_n)$[/tex].
Fatto ciò, devi trovare quello che è compatibile con la condizione iniziale.

[alle.fabbri]

Grazie mille della risposta gugo!!
Comunque se venisse fuori che la successione diverge io sarei pure più contento....ma esistono dei criteri generali di convergenza per questo tipo di successioni?

[robbstark1]

Se ci sono criteri più generali non lo so, però di solito si studia se la funzione è crescente o decrescente, al peggio calcolando la derivata della funzione ricorsiva, e si dimostra per induzione che la successione è limitata. Che venga divergente mi pare impossibile (fai i limiti ad entrambi i membri); per quanto ne so potrebbe essere irregolare, ma mi sembra improbabile, ci dovrei pensare.

[robbstark1]

Sicuramente può essere irregolare, perchè se è regolare il limite si ottiene per forza risolvendo l'equazione proposta da gugo82, ma questa può avere $delta <0$. Resta da vedere se può essere irregolare anche con $delta>0$.